نظرية الإضطراب Perturbation Theory ... ج (1) !!!

**رجب مصطفى** · 07-16-2010 02:16 AM

نظرية الإضطراب الغير معتمدة على الزمن والغير منحله:

دائماً ما تُدرس الذرات في المعمل بواسطة تطبيق مجالات خارجية وملاحظة تأثير هذه المجالات على الخواص الذرية. وكلاً من المجال الكهربي والمغناطيسي يعمل على تغيير الأطياف الذرية والتي منها يمكن الحصول على معلومات بخصوص تركيب الذرة.

وعليه، في وجود هذه المجالات، تأخذ طاقة الوضع الصورة

$V=V_{0}(r)+{V}'(r)$

حيث $V_{0}(r)$ هو الجهد الذري البسيط، و ${V}'(r)$ هو الجهد الناتج عن المجال.

إذاً ... يتطلب الأمر حل معادلة شرودنجر باستخدام هذا الجهد الجديد، والمتضمن تأثير المجال المُطبق. وللأسف، مثل هذا الحل مُتاح فقط لحالات قليلة خاصة. وعلى كلٍ ... إذا كان المجال المُطبق ضعيف، وبالتالي الجهد الإضافي صغير، نستطيع تطوير طريقة مرضية للتقريب وذلك لحساب القيم المختلفة للطاقة وأيضاً الدوال الموجية المرافقة. مثل هذه الطريقة مقابلة لمفكوك متسلسلة تايلور كقوى للمجال. وعليه نستطيع أن نحسب القيم المختلفة للطاقة والدوال الموجية بدقة عالية بتضمين أكبر قدر ممكن من الحدود العالية في المفكوك.

ففي حساب كلاً من الدالة الموجية الأرضية لذرة الهيليوم والتركيب الدقيق لذرة الهيدروجين، يستخدم الهاملتونيان ذي الصورة التالية:

$\hat{H}=\hat{H}_{0}+{\hat{H}}' \to (1)$

والذي فيه تم تقسيم الهاميلتونيان إلى جزء $\hat{H}_{0}$ ، وهو المعروف دالته الموجية وطاقته، وجزء إضافي ${\hat{H}}'$ ، والذي هو إلى حدٍ ما صغير مقارنةً بـ $\hat{H}_{0}$ .

وبناءاً عليه ... تحاول نظرية الإضطراب البحث عن دوال موجية تقريبية للهاملتونيان الكلي $\hat{H}$ .

يُعرف $\hat{H}_{0}$ بـ "الهاميلتونيان الغير المضطرب (unperturbed Hamiltonian)"، في حين يُطلق على ${\hat{H}}'$ بـ "الهاميلتونيان المضطرب (perturbed Hamiltonian)".

نكرر مرة أخرى ... أن الفرض الذي تُبنى عليه نظرية الإضطراب هو أن القيم المميزة للدوال الموجية والطاقة للهاملتونيان الكلي لا تختلف بمقدار محسوس (أو بدرجة كبيرة) عن تلك الخاصة بالهاملتونيان الغير مضطرب.

والآن ... نفرض أن $\left \{ E_{n} \right \},\left \{ \phi_{n} \right \}$ هي القيم المميزة للدوال الموجية والطاقة، على الترتيب، للهاملتونيان الكلي $\hat{H}$ ، إذاً:

$\hat{H}\phi_{n}=\left (\hat{H}_{0}+{\hat{H}}' \right )\phi_{n}=E_{n}\phi_{n} \to (2)$

في حين تكون $\left \{ E^{(0)}_{n} \right \},\left \{ \phi^{(0)}_{n} \right \}$ هي القيم المميزة للدوال الموجية والطاقة، على الترتيب، للهاملتونيان الغير مضطرب $\hat{H}_{0}$ ، أي:

$\hat{H}_{0}\phi^{(0)}_{n}=E^{(0)}_{n}\phi^{(0)}_{n}$

وحيث أن ${\hat{H}}'< \hat{H}_{0}$ ، فإننا نستطيع أن نكتب:

$\phi_{n}=\phi^{(0)}_{n}+\Delta \phi_{n}$
$E_{n}=E^{(0)}_{n}+\Delta E_{n}$

حيث $\Delta E_{n},\Delta \phi_{n}$ هي عبارة عن تصحيح صغير لــ $E^{(0)}_{n},\phi^{(0)}_{n}$ ، على التوالي.

وللإحتفاظ بصغر المقدار ${\hat{H}}'$ ، فإنه يمكن كابته على الصورة $\lambda {\hat{H}}'$ حيث $\lambda$ مجرد بارامتر متناهي الصغر (وسنعتبره = 1 لاحقاً، وهذا لن يغير من الأمر شيء)، وعليه فإن:

${\color{red} \left (\hat{H}_{0}+\lambda{\hat{H}}' \right )\phi_{n}=E_{n}\phi_{n} \to (3)}$

إذاً ... من المعادلة السابقة نجد أن $\phi_{n}\Rightarrow \phi^{(0)}_{n}$ عندما $\lambda \Rightarrow 0$ ، وبالمثل مع الطاقة، وعليه يمكن أن نكتب الدوال الموجية والطاقة على الصورة:

$\phi_{n}=\phi^{(0)}_{n}+\lambda\phi^{(1)}_{n}+\lambda^{2}\phi^{(2)}_{n}+...$

$E_{n}=E^{(0)}_{n}+\lambda E^{(1)}_{n}+\lambda^{2}E^{(2)}_{n}+...$

وبالتعويض في المعادلة رقم (3)، نجد أن:

$\left (\hat{H}_{0}+\lambda{\hat{H}}' \right )\left ( \phi^{(0)}_{n}+\lambda\phi^{(1)}_{n}+\lambda^{2}\phi^{(2)}_{n}+... \right )=$
$\left ( E^{(0)}_{n}+\lambda E^{(1)}_{n}+\lambda^{2}E^{(2)}_{n}+... \right )\left ( \phi^{(0)}_{n}+\lambda\phi^{(1)}_{n}+\lambda^{2}\phi^{(2)}_{n}+... \right )$

بالفك وإعادة الترتيب (((في طرف واحد))) وأخذ الحدود المشتركة، نحصل على التالي:

$\left ( \hat{H}_{0}\phi^{(0)}_{n}-E^{(0)}_{n}\phi^{(0)}_{n} \right )+\lambda\left ( {\hat{H}}'\phi^{(0)}_{n}+\hat{H}_{0}\phi^{(1)}_{n}-E^{(0)}_{n}\phi^{(1)}_{n}-E^{(1)}_{n}\phi^{(0)}_{n}\right )+$
$\lambda^{2}\left ( \hat{H}_{0}\phi^{(2)}_{n}+{\hat{H}}'\phi^{(1)}_{n}-E^{(0)}_{n}\phi^{(2)}_{n}-E^{(1)}_{n}\phi^{(1)}_{n}-E^{(2)}_{n}\phi^{(0)}_{n} \right )+...=0$

(((يا ليت يا إخوان مراجعة المعادلة السابقة ... لأنه صراحةً تعبتني عيناي وأنا أحاول الترتيب، لكن إن شاء الله ما في نقص أو خطأ)))

ومنها نجد أن ...

$\hat{H}_{0}\phi^{(0)}_{n}=E^{(0)}_{n}\phi^{(0)}_{n}$

$\left (E^{(1)}_{n}-{\hat{H}}' \right )\phi^{(0)}_{n}=\left (\hat{H}_{0}-E^{(0)}_{n} \right )\phi^{(1)}_{n} \to (4)$

$E^{(2)}_{n}\phi^{(0)}_{n}+\left (E^{(1)}_{n}-{\hat{H}}' \right )\phi^{(1)}_{n}=\left ({\hat{H}}_{0}-E^{(0)}_{n} \right )\phi^{(2)}_{n}\rightarrow (5)$

وهكذا ...

يُتبع ...