قانون بلانك لإشعاع الجسم الأسود ... نظرة إحصائية !

**رجب مصطفى** · 03-12-2010 09:59 PM

*** ملحق (2) ... إشتقاق قانون الإزاحة لـ "فين":

يمكن كتابة قانون "بلانك" بدلالة التردد على النحو التالي:

$u\left ( \nu \right )\equiv \large u\left ( \nu ,T\right )= \frac{8 \pi h}{c^{3}} \frac{\nu^{3}}{( e^{h \nu /kT}-1) \right )}$

وذلك على إعتبار أن القياس يتم عند درجة الحرارة معينة، ولكن عموماً طاقة الإشعاع دالة في التردد (أو الطول الموجي) ودرجة الحرارة.

وحيث أن الطاقة الكلية يمكن أن تُعطى على النحو التالي:

$U =\int_{0}^{\infty}R’\left ( \nu \right )d\nu =\int_{0}^{\infty}R\left (\lambda\right )d\lambda$

حيث:

$u\left ( \nu \right )\equiv \large u\left ( \nu ,T\right )\equiv \large R’\left ( \nu \right )$

و:

$u\left ( \lambda \right )\equiv \large u\left ( \lambda ,T\right )\equiv \large R\left ( \lambda \right )$

وعليه يكون:

$R’\left ( \nu \right )d\nu = R\left (\lambda\right )d\lambda$

أو:

$R\left (\lambda\right )= R’\left ( \nu \right )\left |\frac{d\nu}{d\lambda} \right |$

أو:

$|\frac{d\nu}{d\lambda}| = |\frac{-c}{\lambda^{2}}|= \frac{c}{\lambda^{2}}$

إذاً:

${d\nu}= \frac{c}{\lambda^{2}}d\lambda$

وبالتالي:

$R\left (\lambda\right )= R’\left ( \nu \right )\left |\frac{d\nu}{d\lambda} \right |$

و:

$R\left (\lambda\right )= \frac{c}{\lambda^{2}} R’\left ( \nu \right )\left = \frac{8 \pi h c}{\lambda^{5}} \frac{1}{( e^{h c /\lambda kT}-1) \right }$

ولإيجاد قانون الإزاحة لفين في الصورة

$\lambda _{max} T = constant$

يجب أولاً إيجاد $\lambda _{max}$ وهي القيمة التي عندما يكون للكمية $R\left (\lambda\right )$ نهاية عظمى، وعلى هذا الأساس يلزمنا حل المعادلة:

$\frac{d \large \large R\left (\lambda\right )}{d\lambda} = 0$

أي أن:

$\frac{d \large \large R\left (\lambda\right )}{d\lambda}=\frac{hc}{\pi^{2}}\left [ \frac{hc}{kT \lambda ^{7}}\frac{e^{hc/\lambda kT}}{(e^{hc/\lambda kT}-1)^{2}} -\frac{5}{\lambda^{6}(e^{hc/\lambda kT}-1)} \right ]$

أو:

$\frac{d \large \large R\left (\lambda\right )}{d\lambda}=8\pi hc \left [ \frac{hc}{kT \lambda ^{7}}\frac{e^{hc/\lambda kT}}{(e^{hc/\lambda kT}-1)^{2}} -\frac{5}{\lambda^{6}(e^{hc/\lambda kT}-1)} \right ]$

وعند $\lambda _{max}$ نجد أن:

$\frac{hc}{kT \lambda_{max}}\frac{e^{hc/\lambda_{max} kT}}{(e^{hc/\lambda_{max} kT}-1)} - {5} \right=0$

والآن بوضع

$\frac{hc}{kT \lambda_{max}}=x$

فإن:

$\frac{x e^{x}}{e^{x}-1} = {5}$

بالقسمة على $e^{x}$ وإعادة ترتيب المعادلة نحصل على العلاقة:

$x = 5 \left ( 1-e^{-x} \right )$

وباستخدام الطرق العددية لحل هذه المعادلة، نحصل على جذراً وحيداً قيمته $x = 4.965$ ، وعليه فإن:

$\frac{hc}{kT \lambda_{max}}= 4.965$

إذاً:

$\lambda_{max}T = \frac{hc}{4.965 x}= constant$

وهذا هو قانون الإزاحة لـ "فين".

الموضوع: قانون بلانك لإشعاع الجسم الأسود ... نظرة إحصائية !

أدوات الموضوع

عرض

مشاهدة المواضيع

*** ملحق (2) ... إشتقاق قانون الإزاحة لـ "فين" ...

معلومات الموضوع

الأعضاء الذين يشاهدون هذا الموضوع

المواضيع المتشابهه

قانون بلانك

^^{ نظرة المغرور إلى نفسه نظرة غير متوازنة }^^

اشعاع الجسم الأسود

إحصائية

قانون بلانك

مواقع النشر (المفضلة)

مواقع النشر (المفضلة)

ضوابط المشاركة