اريد اثبات associated Legendre polynomial

**الصادق** · 06-05-2009 07:31 AM

بالرجوع للمعادلة (10)

$%20(1-x^2)\frac{d^2P_n(x)}{dx^2}-2x\frac{dP_n(x)}{dx}+n(n+1)P_n(x)=0 \qquad (10)$

دعينا نفاضل هذه المعادلة m مرة . لاحظى ان اول حد فى الطرف الايسر للمعادلة عبارة عن ضرب دالتين لذا سوف نستخدم قاعدة افاضل ليبنز

$\\ \frac{d^m}{dx^m}(1-x^2)\frac{d^2P_n(x)}{dx^2}=C^m_0\frac{d^0}{dx^0}(1-x^2)\frac{d^m}{dx^m}\Bigg(\frac{d^2P_n(x)}{dx^2}\Bigg)+C^m_1\frac{d^1}{dx^1}(1-x^2)\frac{d^{m-1}}{dx^{m-1}}\Bigg(\frac{d^2P_n(x)}{dx^2}\Bigg)+C^m_2\frac{d^2}{dx^2}(1-x^2)\frac{d^{m-2}}{dx^{m-2}}\Bigg(\frac{d^2P_n(x)}{dx^2}\Bigg)+C^m_3\frac{d^3}{dx^2}(1-x^2)\frac{d^{m-3}}{dx^{m-3}}\Bigg(\frac{d^2P_n(x)}{dx^2}\Bigg)+...$

بعد اجراء التفاضلات سوف تحصلين على الشكل التالى

$\\ \frac{d^m}{dx^m}(1-x^2)\frac{d^2P_n(x)}{dx^2}=(1-x^2)\frac{d^2}{dx^2}\Bigg(\frac{d^mP_n(x)}{dx^m}\Bigg)-2\frac{m!}{(m-1)!1!}x\frac{d}{dx}}\Bigg(\frac{d^mP_n(x)}{dx^m}\Bigg)-2\frac{m!}{(m-2)!2!}\Bigg(\frac{d^mP_n(x)}{dx^m}\Bigg)+0$

لاحظى ان جميع الحدود التى تحتوى على المشتقة الثاتلثة او التى اكبر منها فى الحد الاول تساوى صفرا, ومن اجل اختصار الكتابة سوف اسمى الحد داخل القوسين u . وبعد فك التوافيقيات سوف تحصلين على

$\\ \frac{d^m}{dx^m}(1-x^2)\frac{d^2P_n(x)}{dx^2}=(1-x^2)\frac{d^2u}{dx^2}-2mx\frac{du}{dx}}-2m(m-1)u$

حيث ان

$u=\frac{d^m}{dx^m}P_n(x)\qquad (14)$

بتكرار نفس الخطوات السابقة نجد ان المشتقة رقم m للحد الثانى فى الطرف الايمن من المعادلة (10) هى

$\frac{d^m}{dx^m}\Bigg(2x\frac{dP_n(x)}{dx}\Bigg)=2x\frac{du}{dx}+2mu$

اما المشتقة رقم m للحد الاخير فى المعادلة (10) فهى

$\frac{d^m}{dx^m}\Bigg(n(n+1)P_n(x)\Bigg)=n(n+1)u$

وهكذا تكون المشتقة رقم m للمعادلة (10) (فقط اجمعى الحدود الثلاث السابقة التى تمت مفاضلاتها

$(1-x^2)\frac{d^2u}{dx^2}-2x(m+1)\frac{du}{dx}+\Big(n(n+1)-2m\Big)\qquad (15)$

الان دعنا نعرف دالة اخرى v بالنحو التالى

$v(x)=(1-x^2)^{\frac{m}{2}}u(x)\qquad (16)$

وهكذا نجد ان المشتقة الاولى ل u بدلالة v هى

$\frac{du}{dx}=\Bigg[\frac{dv}{dx}-\frac{mxv}{(1-x^2)}\Bigg](1-x^2)^{\frac{-m}{2}}$

اما المشتقة الثانية ل u فتعطى ب

$\frac{d^2u}{dx^2}=\Bigg[\frac{d^2v}{dx^2}-\frac{2mx}{(1-x^2)}\frac{dv}{dx}+\frac{mv}{(1-x^2)}+\frac{m(m+1)x^2v}{(1-x^2)^2}\Bigg](1-x^2)^{\frac{-m}{2}}$

بتعويض هذه المشتقات فى المعادلة (15) سوف تحصلين على المعادلة التالية

$(1-x^2)\frac{d^2v}{dx^2}-2x\frac{dv}{dx}+\Bigg(n(n+1)-\frac{m^2}{(1-x^2)}\Bigg)v=0 \qquad$

وهذه هى بالضبط المعادلة لجندر المرتبطة (11) وهكذا تكون v هى حل معادلة لجندر المرتبطة اى انها تمثل كثيرة حدود لجندر المرتبطة (انظرى الى المعادلة (12)

$P_n^m(x)=v$

ولكن من المعادلة (16) نجد ان

$P_n^m(x)=v=(1-x^2)^{\frac{m}{2}}u(x)$

وهكذا لو رجعتى لتعريف u الموجود فى المعادلة (14)

$P_n^m(x)=(1-x^2)^{\frac{m}{2}}\frac{d^m}{dx^m}P_n(x)\qquad (17)$

ولو استخدمتى صيغة رودريقيس فى المعادلة (8) فسوف تحصلين على الشكل النهائى لكثيرات حدود لجندر المرتبطة , والذى هو

$P_n^m(x)=\frac{(1-x^2)^{\frac{m}{2}}}{2^n n!}\frac{d^{n+m}}{dx^{n+m}}(x^2-1)^n\qquad (18)$

يتبع.....

الموضوع: اريد اثبات associated Legendre polynomial

أدوات الموضوع

عرض

مشاهدة المواضيع

مشاركة: اريد اثبات associated Legendre polynomial

معلومات الموضوع

الأعضاء الذين يشاهدون هذا الموضوع

المواضيع المتشابهه

اثبات

طلب اثبات في الشغل

bessel and legendre functions???

اثبات فى الكهربية

مواقع النشر (المفضلة)

مواقع النشر (المفضلة)

ضوابط المشاركة