علم الفيزياء النظرية مفهوم وقواعد ونظريات

[قصي التميمي]

بارك الله فيكم معلومات قيمة جدا ومشكورين على هذه الجهود الممتازة

[فيزيائي مفعم]

الدرس الثاني هو المبادئ الاساسية للكوانتي اولها معادلة الحركة الموجية قبل كتابة شرحي ارجو متابعة هذه المقالات


معادلة شرودنغر


من ويكيبيديا، الموسوعة الحرة

اذهب إلى: تصفح، بحث
اكتشفت معادلة شرودنغر في الفيزياء (بالإنجليزية:Schrödinger equation) عام 1925 من طرف الفيزيائي النمساويإرفين شرودنغر بالإ ستعانة بأفكار كل من هايزنبيرغودي بروغليوأينشتاينوبلانك. نشرها عام 1926. تصف هذه المعادلة حالات النظم الكمومية المعتمدة على الزمن. وتحتل هذه المعادلة أهمية خاصة في ميكانيكا الكم حيث تعتبر بمثابة قانون التحريك الثاني لنيوتن الذي يعتبر أساسيا في الفيزياء الكلاسيكية.
حسب التعبير الرياضي لميكانيكا الكم، تترافق كل جملة فيزيائية مع فضاء هلبرت المركب (المعقد) (وهو عبارة عن فضاء شعاعي) حيث توصف كل حالة لحظية للجملة بشعاع وحدة في هذا الفضاء الشعاعي، وبالتالي يكون شعاع الحالة بمثابة ترميز (تشفير encoding) لاحتمالات النتائج الممكنة من عمليات القياس بكافة أشكالها على هذه الجملة. عندما تتغير هذه الجملة مع الزمن, يصبح شعاع الحالة (دالة زمنية).

محتويات 1 المعادلات 1.1 المعادلة المعتمدة على الزمن 1.2 المعادلة التي لا تعتمد على الزمن 2 من أهم النتائج 2.1 طاقة الحركة وطاقة الوضع والطاقة الكلية 2.2 الكمومية 2.3 القياسات ومبدأ عدم التأكد 2.4 النفق الكمومي 3 استنباط حديث لمعادلة شرودنجر 4 تفسير الدالة الموجية 5 الخلفية التاريخية وتطور معادلة شرودنجر 6 تفسير ذرة الهيدروجين 7 الخصائص 8 انظر أيضا 9 مراجع 10 وصلات خارجية

المعادلات

المعادلة المعتمدة على الزمن


دالة موجية تحقق معادلة شرودنغر غير النسبية حيث V=0. بتعبير آخر, هذا يوافق جسيما يتحرك بشكل حر في فضاء فارغ. بُين الجزء الحقيقيللدالة الموجية للجسيم في هذا الشكل.


فيما يلي معادلة شرودنغر المعتمدة على الزمن (في شكلها العام)
في هذه المعادلة تعني Ψ دالة موجية تصف النظام الكمومي (نظام صغري مثل حجم الذرة) ، وi وحدة تخيلية, وħ ثابت بلانك المخفض, و معامل هاميلتوني يصف الطاقة الكلية لكل دالة موجية معتبرة وهو يتخذ عدة صور تعتمد على المسألة الفيزيائية المراد حلها.
معادلة شرودنجر المعتمدة على الزمن في حالة جسيم يتحرك حركة توافقية تحت تأثير مجال :
تتكون المعالة إلى اليمين من جزئين : الجزء الأول: وهو يمثل طاقة الحركة للجسيم ، والجزء الثاني وهو يمثل طاقة الوضع للجسيم في المجال التوافقي (مثل مجال نواة الذرة). المجال التوافقي موصوف بالدالة التي تعتمد على الزمن t والمكان r.

تمثل كل من هاته الصفوف الثلاثة دالة موجية تحقق معادلة شرودنغر المعتمدة على الزمن لهزاز توافقي كمومي. في اليسار : الجزء الحقيقي (أزرق) والجزء التخيلي (أحمر) للدالة الموجية لجسيم. في اليمين : توزيع احتمال وجود الجسيم الموصوف بتلك الدالة الموجية في مكان معين. الصفان الأول والثاني هما مثالان لحالة مستقرة التي توافق موجات راكدة. الصف الثالث هو مثال لحالة غير مستقرة. العمود في اليمين يوضح لماذا تسمى الحالات المستقرة مستقرة.


وتتعامل معاملة شرودنجر مع الجسيم (إلكترون مثلا) الذي يتحرك في مجال نواة (مشحونة) على أنه في هيئة دالة موجية :
معتمدة على الزمن t والموقع r ، حيث يعطي حل المعادلة صفات الجسيم وما يمكن له أن يمتلكه من طاقة.
أي أن معادلة شرودنجر تماثل معادلة هاميلتون التي تعطي الطاقة الكلية لجسيم في هزاز توافقي في الحالة الكلاسيكية (ميكانيكا نيوتن ومعادلات ماكسويل) ، وأما معادلة شرودنجر فهي تعطي الطاقة الكلية للجسيم الذي يتحرك في مجال توافقي كمومي.
لم تنجح معادلة هاميلتون في التعامل مع جسيمات صغرية على المستوى الذري فلم تأتي بحلول صحيحة لحركة الإلكترون في مجال شحنة النواة ، وكان ذلك عند دراسة الطيف الضوئي من الهيدروجين. فكانت الحلول لا تتفق مع القياسات التي نحصل عليها عمليا. ذلك بعكس ميكانيكا الكم والممثلة هنا بمعادلة شرودنجر فقد استطاعت إعطاء الحلول المتفقة مع القياسات المعملية وذلك باعتبار أن الجسيم يكون في هيئة موجة مادية وليس جسما ماديا.
هذا هو عالم الذرات وتآثرها ببعضها البعض وهو عالم غريب عن العالم الذي اعتدنا عليه عند التعامل مع أجسام ذات أبعاد كبيرة ككرة الجولف أو كرة البلياردو أو عالم الكواكب والأجرام السماوية. مع تلك الأبعاد الكبيرة تصلح ميكانيكا نيوتن في إعطاء الحلول السليمة لتلك الأنظمة الكبيرة، أما عند التعامل مع عالم الذرات والجسيمات الأولية فلا بد من استخدام معادلات ميكانيكا الكم فهي وحدها (حتى الآن) التي تعطي حلولا سليمة لتلك الأنظمة الصغرية.
المعادلة التي لا تعتمد على الزمن

تنتظر معادلة شرودنجر المعتمدة عل الزمن أن الدوال الموجية يمكن أن تكوّن موجات راكدة تسمى " حالات مستقرة " (أي تسمى "أوربيتال" كما هو الحال في حالة مدارات الإلكترونات حول نواة الذرة أو في مدارات الجزيئات. هذه الحالات تلعب دورا هاما في التركيب الذري والجزيئي ، وعلاوة على ذلك تصنف الحالات المستقرة وتفهم ، ويصبح من السهل حل معادلة شرودنجر المعتمدة على الزمن لأي حالة أخرى.
ومعادلة شرودنجر الغير معتمدة على الزمن هي التي تصف الحالات المستقرة. وتستعمل عندما يكون الهاميلتوني نفسه غير معتمدا على الزمن.
معادلة شرودنجر الغير معتمدة على الزمن (الحالة العامة)

نقرأ هذه المعادل هكذا :
" عندما يؤثر معامل هاميلتون على الدالة الموجية Ψ فربما تكون النتيجة متناسبة طرديا مع نفس الدالة الموجية Ψ. فإذا كانت كذلك فتكون Ψ حالة مستقرة، ويعطي ثابت التناسب E طاقة الحالة Ψ. "وتتميز تلك المعادلة رياضيا بأنها تعطي معادلة قيم ذاتية eigenvalue equation عن النظام.
ومن أهم معادلات شرودنجر التي تصف جسيما يتحرك في مجال كهربائي (وليس في مجال مغناطيسي) هي :
معادلة شرودنجر الغير معتمدة على الزمن (لجسيم ، ولا تأخذ في الاعتبار تأثيرات النظرية النسبية):

وقد سبق تعريف عناصر المعادلة أعلاه.
من أهم النتائج

شكلت معدلة شرودنجر ونتائجها فتحا جديدا في فهم الفيزياء. فقد كانت معادلته الأولى من نوعها وأوصلت نتائجها العلماء إلى تبعات لم تتوقع من قبل وغير عادية في ذلك الوقت.
طاقة الحركة وطاقة الوضع والطاقة الكلية

يمكن تفسير عناصر معادلة شرودنجر الغير نسبية كالأتي:
الطاقة الكلية = (طاقة الحركة) + (طاقة الوضع)وفي ذلك فهي مشابهة للفيزياء الكلاسيكية. فمثلا تكون الطاقة الكلية للرقاص ثابتة ، وتنخفض سرعته (أي تقل طاقة حركته) عندما يرتفع ويقترب من نقطة العودة في مجال الجاذبية الأرضية ، وبعد بلوغه أعلى نقطة في مساره القوسي يتوقف لحظة ويبدأ العودة في اتجاه نقطة السكون وتتحول طاقة الوضع له إلى طاقة حركية ثانيا. ويكون مجموع طاقته الحركية وطاقة وضعه دائما ثابتا في كل لحظة.
الكمومية

تتنبأ معادلة شرودنجر أنه إذا قمنا بقياس بعض خواص النظام فمن الممكن أن تكون القياسات "كمومية " بمعنى ان التائج قد تكون قيم منفصلة discrete values. فعلى سبيل المثال ،" كمومية الطاقة" : تكون طاقة الإلكترون في الذرة دائما أحد الطاقات الكمومية ، وهي طاهرة اكتشفت عن طريق دراسة مطيافية الذرات. وهناك مثال آخر يتعلق بالزخم الزاوي فهو أيضا يكون كموميا ، أي يمكنه اتخاذ قيم منفصلة. وقد كان ذلك مجرد فكرة في نموذج بور الابتدائي للذرة ، ولكن معادلة شرودنجر تنبأت به.
القياسات ومبدأ عدم التأكد

مقال تفصيلي : مبدأ عدم التأكد
في الميكانيكا الكلاسيكية يكون لجسيم في جميع الأوقات في مكان محدد بدقة وله زخم حركة معينة دقيقة. وتحدد قوانين نيوتن للحركة بكل دقة تلك المواصفات الخاصة بالجسيم أثناء سيرها. أما في ميكانيكا الكم فلا يكون لجسيم مواصفات بالغة الدقة ، وعندما نقوم بقياسها فتكون تلك النتائج موصوفة بتوزيع احتمالي. وتتنبأ معادلة شرودنجر بأن التوزيعات الاحتمالية لا تستطيع التعرف على النتيجة الدقيقة لكل عملية قياس.
وتمثل مبدأ عدم التأكد الذي صاغه العالم الفزيائي الألماني هايزنبرج مثالا شهيرا عن عدم التأكد في ميكانيكا الكم. وهذا المبدأ يقول أنه كلما زادت دقة معرفتنا لمكان جسيم فإن معرفتنا بزخم حركته تقل دقتها ، والعكس بالعكس.
وتستطيع معادلة شرودنجر تعيين الدالة الموجية لجسيم بكل دقة ، ولكن حتى معرفة دقيقة للدالة الموجية فإن نتيجة عملية قياس معينة على الدالة الموجية يكون محفوفا بدرجة من عدم التأكد.
النفق الكمومي

مقال تفصيلي :نفق كمومي
في الفيزياء الكلاسيكية عندما تتدحرج كرة عاليا على جبل تقل سرعتها رويدا رويدا حتى تتوقف ثم تعود متدحرجة ثانيا إلى سفح الجبل ، ذلك لأنها لم تمتلك طاقة كافية لكي تصعد فوق الجبل لتهبط من الناحية الأخرى. أما معادلة شرودنجر فهي تتوقع أنه يوجد احتمال ولو ضعيف أن تنتقل الكرة إلى الناحية الأخرى من الجبل حتى ولو كانت طاقتها الحركية لاتكفي لأن تصل إلى قمة الجبل. وهذا ما يسمي بالنفاذية خلال نفق كمومي ، وهذه الظاهرة تنبع من مبدأ عدم التأكد : فمع أن الكرة تبدو وأنها موجودة على ناحية من الجبل إلا أن مكانها فيه ليس أكيدا ، بحيث أنه يوجد احتمال لتواجدها على الناحية الأخرى من الجبل.

التخلل النفقي : إلى اليسار، داخل النواة، وإلى اليمين خارج النواة. طاقة الجسيم المتسرب لا تتغير، والذي يتغير هو مطال الموجة الكمومية له وهو ينقص في الخارج (وبالتالي ينقص احتمال سريان التسرب).



ضبابية موقع الجسيم حيث لا تحدده تماما ميكانيكا الكم.


التغير الزمني لحزمة موجية كما تصفه حل معادلة شرودنجر في حالة نظام جهدي ذو قمة واحدة مبينا شرائح لمحوري المكان x والزمن t (ويبن المحور الثالث المطال Ψ وهو يعبر عن احتمال تواجد الجسيم في المكان المذكور). يبدو الجسيم كدوائر زرقاء وكثافتها اللونية تتناسب مع احتمال وجود الجسيم في الموقع المبين. ويمثل الخط النقطي الجهد الجبلي. واحتمال النفاذية أكبر من الانعكاس لأن الطاقة الكلية E تزيد عن طاقة الوضع.
استنباط حديث لمعادلة شرودنجر

صاغ شرودنجر عام 1926 معادلته واضعا فيها بعض المبادئ الفيزيائية التي تتكئ عليها بعض الظواهر الكمومية المعروفة في ذلك الوقت. وتعتمد رياضيات معادلة شرودنجر على مبدأ التواصل لدالة هاميلتون التي تعطي الطاقة الكلية :
وبالتعويض عن الطاقةوزخم الحركةوالمكان في الميكانيكا الكلاسيكية باستخدام معاملات ميكانيكية كمومية :
ثم تطبيق الدالة الموجية ergibt التي كانت معروفة في علم البصريات :
.بهذا تحولت دالة هاميلتون إلى معامل هاميلتون Hamilton-Operator.
ومن الوجهة التاريخية طبق شرودنجر وصف دي برولي للجسيم الحر ، وقام بتوليف متناظرات بين الفيزياء والموجات الكهرومغناطيسية في هيئة ازدواجية موجة-جسيم وتطبيق الصفات الموجية للجسيمات :
,حيث ثابت.
تلك المعادلة الموجية هي عبارة عن أحد حلول معادلة شرودنجر وتحتوي على .
ويبقى مع ذلك التفسير الفيزيائي للدالة الموجية مفتوحا غير واضحا. وفي التفسيرات الإحصائية الجارية على ميكانيكا الكم تعطي مربع القيمة احتمال وجود الجسيم في موقع معين (وهذا هو تفسير ماكس بورن الألماني).
تفسير الدالة الموجية

تسمح لنا معادلة شرودنجر لحساب الدوال الموجية لنظام وكيف تتغير مع الزمن. ولكن معادلة شرودنجر لا تقول "ما هي " الدالة الموجية بالضبط. وتعتني تفسيرات ميكانيكا الكم بأسئلة مثل العلاقة بين الدالة الموجية والحقيقة الواقعية ونتائج قياسات التجارب.
وبينما تحسب الميكانيكا التقليدية مسار جسيم بدقة يظهر مكان الجسيم في ميكانيكا الكم كقيمة محتملة لدوال توزيع , تعطيها معادلة شرودنجر. ويوصف الجسيم كحزمة موجية فإذا كان اتساع الحزمة الموجية قصيرا جدا فيمكن تحويل معادلة شرودنجر إلى معادلة نيوتن اللحركة. . تصاغ الدوال الموجية في معادلة شرودنجر في صورة معاملات طبقا لتصور شرودنجر. وفي تصور هايزنبرج الذي حل مسألة طيف الهيدروجين بميكانيكا الكم فقد صاغ معادلات الحركة مباشرة بدلا من المعاملات. وتسمى طريقة هايزنبرج التي استخدم فيها حساب المصفوفات وتسمى "معادلات هايزنبرج للحركة". وكلا الطريقتين : معادلة شرودنجر أو معادلات الحركة لهايزنبرج متماثلتان من وجهة النتائج. وقد توصل هايزنبرج لطريقته عام 1923 أي قبل توصل شرودنجر لمعادلته التي صاغها عام 1926.
رفض أينشتاين ميكانيكا الكم باعتبارها لا تصف مكان جسيم بدقة مثلما في الميكانيكا الكلاسيكية وتعطي فقط احتمال وجود الجسيم في مكان معين ت. ولكن التوافق بين طريقة هايزنبرج الكمومية ومعادلة شرودنجر والنجاح التي حازته ميكانيكا الكم في تفسير ظواهر طبيعية كثيرة تعجز الميكانيكا الكلاسيكية عن حسابها وتفسيرها ثبتت من مزكز ميكانيكا الكم كطريقة يمكن الاعتماد عليها في تفسير الظواهر الطبيعية على المستوى الصغري في عالم الذراتوالجزيئاتوالجسيمات الأولية.
الخلفية التاريخية وتطور معادلة شرودنجر

بعد اكتشاف ماكس بلانك لكمومية الضوء (انظر اشعاع الجسم الأسود) وتفسير أينشتاين بأن تسمية "الكم " quanta الذي استخدمها بلانك هو عبارة عن فوتون أو "جسيم ضوئي" ، واقترح اعتبار أن تكون طاقة الفوتون متناسبة مع تردده ، فكانت تلك الفكرة من أول الافتراضات الخاصة بازدواجية الموجة والجسيم.
ونظرا لكون الطاقةوزخم الحركة ينتسبان إلى الترددوالعدد الموجي في النظرية النسبية الخاصة ، فينتج عن ذلك أن زخم الحركة p للفوتون يكون متناسبا طرديا مع عدده الموجي k.
وافترض لويس دي برولي أن هذا ينطبق على جميع الجسيمات ، بما فيها الإلكترون. وبين انه بافتراض أن الموجة المادية تتقدم مزاملة لجسيمها ، فإن الإلكترون يكوّن موجة راكدة ، بمعنى أنه يحتوي على ترددات زاوية منفصلة فقط حول النواة الذرية وهي التي تكون مسموحة له باتخاذها . ^[1]
تلك المدارات الكمومية في الذرة تنتمي إلى مستويات طاقة منفصلة (أي لها قيم خاصة ذاتية)، واستطاع دي برولي تفسير نموذج بور للبنية الذرية وما تحويه من مستويات للطاقة. وكان نموذج بور معتمدا على التصور الكمومي للزخم الزاوي (أي تكون له قيم خاصة ذاتية) :
وطبقا ل "دي برولي " يوصف الإلكترون بموجة ذات عدد صحيح من طول الموجة ، وأنه في الذرة لا بد وأن يناسب العدد الموجي محيط مدار الإلكترون:
ولكن هذا الافتراض يحصر موجة الإلكترون في بُعد واحد ويدور في مدار دائري.
وابتداءا من تلك الافتراضات علّق الفيزيائي بيتر ديباي بأنه إذا كان الجسيمات تتصرف بخصائص الموجات فلا بد لها أن تفي بنوع من أنواع دالة موجية. ومن ذلك التعليق الذي قدمه "ديباي" حاول شرودنجر التوصل إلى معادلة موجية في ثلاثة أبعاد تنطبق على الإلكترون. واستعان بما قام به هاميلتون من بيان التناظر بين ميكانيكا الأجسام وخواص الضوء والذي يتمثل في المشاهدة أن الحد الصفري لطول الموجة (أي عندما يصل طول الموجة إلى 0) يعادل حالة نظام في الميكانيكا الكلاسيكية. ^[2]. زتوصل شرودنجر إلأى المعادلة :^[3]
تفسير ذرة الهيدروجين


كثافة احتمال وجود الإلكترون في المدارات الأولى لذرةالهيدروجين مبينة كمقاطع مستوية ؟ أحجام المدارات ممثلة هنا بمقاييس رسم مختلفة.


تستخدم معادلة شرودنجر ذات الثلاثة أبعاد في التطبيق على ذرة الهيدروجين: ^[4][5]
حيث :
e شحنة الإلكترون,r بُعد الإلكترون عن النواة (|r = |r),الجزء الممثل للجهد هو الجهد الكهربائي ، وفيهε₀ السماحية الكهربائية في الفراغ ،
والأخيرة هي الكتلة المخفضة المكونة من نواة الهيدروجين (وهي بروتون واحد) كتلتها m_p وكتلة الإلكترون m_e. ومعنى الإشارة السالبة ،أنه يوجد تجاذب بين شحنة النواة الموجبة وشحنة الإلكترون السالبة. ونأخذ الكتلة المخفضة في الاعتبار حيث يتحرك كل من النواة والإلكترون جول مركز الثقل ، فهما يكونان نظاما مكون من جسمين. وحركة الإلكترون هي التي تهمنا حيث كتاته هي الأصغر.
وتشكل الدالة الموجية للهيدروجين هي دالة لموقع الإلكترون ويمكن فصلها إلى ثلاثة دوال في الاتجاهات الثلاث. ^[6] ويتم ذلك للسهولة بتطبيق النظام الإحداثي الكروي:
حيث :
R دوال شعاعية ، توافقية كرية من الدرجة ℓ والنوع m.وتلك هي الذرة الوحيدة التي حلت لها معادلة شرودنجر بدقة. أما بالنسبة إلى الذرات الأخرى المحتوية على أكثر من إلكترون واحد فهي تتطلب طرق تقريبية نابعة من معادلة شرودنجر. مجموعة الحلول هي: ^[7]
حيث:
نصف قطر بوهر,
كثيرة حدود لاجير العامة من الدرجة n − ℓ − 1.
n, ℓ, m عدد كم رئيسي, عدد كم مداري, وعدد كم مغناطيسي، وهم يتخذون القيم :
ينطبق هذا الحل تماما مع قياسات طيف ذرة الهيدروجين ، وكان ذلك نجاحا عظيما لمعادلة شرودنجر والت أيدت طريقة ميكانيك المصفوفات الكمومية التي اتبعها هايزنبرج قبله بثلاثة سنوات عام 1923. بذلك اعتلت ميكانيكا الكم مكانتها كواحدة من أعظم النظريات الفيزيائية.
نذكر أن خلال سنوات تالية اكتشف بأن للإلكترون عزم مغزلي ، واكتشفت تلك الظاهرة من أنشقاق خطوط الطيف للعناصر ، فكان ذلك داعية لإدخال عدد كم مغزلي وأكتملت الأعداد الكمومية الخاصة بذرة الهيدروجي وكذلك لغيرها من الذرات. وأصبحت الأعداد الكمومية كالآتي :
عدد كم رئيسي n
عدد كم مداري l
عدد كم مغناطيسي ml
عدد كم مغزلي ms

[فيزيائي مفعم]

الدرس الثاني في مبادئ الاساسية للميكانيك الكوانتي

اولا معادلة الحركة الموجية و قبل ان اشرح الدرس اريد من الاخوة المتابعين ان يطلعوا على هذه المقالات اولا


لا حصر لها.

http://www.startimes.com/f.aspx?t=31235433
2/

[فيزيائي مفعم]

Electromagnetic Wave Equation The wave equation for a plane electric wave traveling in the x direction in space is with the same form applying to the magnetic field wave in a plane perpendicular the electric field. Both the electric field and the magnetic field are perpendicular to the direction of travel x. The symbol c represents the speed of light or other electromagnetic waves. The wave equation for electromagnetic waves arises from Maxwell’s equations. The form of a plane wave solution for the electric field is and that for the magnetic field To be consistent with Maxwell’s equations, these solutions must be related by The magnetic field B is perpendicular to the electric field E in the orientation where the vector product E x B is in the direction of the propagation of the wave. Transport of energy by electromagnetic waves

Index Wave concepts Electromagnetic wave concepts Electromagnetic spectrum

HyperPhysics*****Electricity and Magnetism R Nave

Go Back

Energy in Electromagnetic Waves

Electromagnetic waves carry energy as they travel through empty space. There is an energy density associated with both the electric and magnetic fields. The rate of energy transport per unit area is described by the vector
which is called the Poynting vector. This expression is a vector product, and since the magnetic field is perpendicular to the electric field, the magnitude can be written
The rate of energy transport S is perpendicular to both E and B and in the direction of propagation of the wave. A condition of the wave solution for a plane wave is B_m = E_m/c so that the average intensity for a plane wave can be written

[فيزيائي مفعم]

يجب متابعة هذا الفيديو

[فيزيائي مفعم]

النظرية الاهتزازية و تطبيقاتها

نتطرق لبيان هذه النظرية في الفيزياء النظرية ليستعين بها النظري العربي في تقنين دراساته الفيزيائية التي لها علاقة بالاهتزازات الموجية سواء كانت ميكانيكية او طاقية او غيرها و نذكر في ما يلي اهم ما يلزم التطرق له عبر هذه النظرية الشاملة=
1/المعادلات الرياضية للحركات الاهتزازية
2/الأنظمة الخطية للاهتزازات
3/الاهتزازات الكهروميكانكية
4/الأنظمة اللاخطية
5/معالات ذبذبات وتر
6/ الملاحق المهمة في علم الحركة الموجية

[فيزيائي مفعم]

http://www.gulfup.com/?RfFKF1