علاقة عدم التأكد للمتذبذب التوافقي !!!

**رجب مصطفى** · 01-10-2011 02:36 AM

بسم الله الرحمن الرحيم

الحمد لله الذي صدق وعده، ونصر عبده، وأعز جنده، وهزم الأحزاب وحده، والصلاة السلام على من لا نبي بعده، رسوله الذي هدى به الأنام، وكشف به شبهات الأوهام، وعلى آله الطيبين الأطهار، وأصحابه المجاهدين الأبرار، الذين أغاظ الله بهم الكفار، وبسط بهم رحمته في جميع الأقطار

أما بعد:

*** ملحوظة هامة جداً كالعادة ... هذا الموضوع حصري لـ "منتدى الفيزياء التعليمي" فقط، غير ذلك سيكون واضعه سارقاً له !!!

علاقة عدم التأكد للمتذبذب التوافقي

The Uncertainty Relation of the Harmonic Oscillator

من المعروف أن الدالة الموجية المعيارة normalized wavefunction للمتذبذب التوافقي تأخذ الصورة العامة:

$\psi _{n}(x)=\frac{1}{\sqrt{2^{n} \;n!\sqrt{\pi}}} \left ( \frac{m \omega}{\hbar} \right )^{1/4} H_{n}\left (\sqrt{ \frac{m \omega}{\hbar}} \;x\right )e^{-m\omega x^{2}/2\hbar}$

ومنها، تكون الدالة الموجية للحالة الأرضية ground state wavefunction هي:

$\psi _{0}(x)=\frac{1}{\sqrt{\sqrt{\pi}}} \left ( \frac{m \omega}{\hbar} \right )^{1/4} e^{-m\omega x^{2}/2\hbar}$

وللحالة الأولى المثارة the first excited state wavefunction:

$\psi _{1}(x)=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{\sqrt{\pi}}} \left ( \frac{m \omega}{\hbar} \right )^{3/4} x \;e^{-m\omega x^{2}/2\hbar}$

والذي مربعها هو:

$\left |\psi _{1}(x) \right |^{2}=\frac{2}{\sqrt{\pi}} \left ( \frac{m \omega}{\hbar} \right )^{3/2} x^{2} \;e^{-m\omega x^{2}/\hbar}$

وعليه، تُصبح القيمة المتوقعة للموضع position expectation value هي:

$\left \langle x \right \rangle = \int_{-\infty }^{\infty }x \left |\psi _{1}(x) \right |^{2}dx$

أي:

$\left \langle x \right \rangle =\frac{2}{\sqrt{\pi}} \left ( \frac{m \omega}{\hbar} \right )^{3/2} \int_{-\infty }^{\infty }x^{3} \;e^{-m\omega x^{2}/\hbar} \;dx =0$

أما القيمة المتوقعة لمربع الموضع square position expectation value ، فهي:

$\left \langle x^{2} \right \rangle =\frac{2}{\sqrt{\pi}} \left ( \frac{m \omega}{\hbar} \right )^{3/2} \int_{-\infty }^{\infty }x^{4} \;e^{-m\omega x^{2}/\hbar} \;dx$

ولكن:

$\int_{-\infty }^{\infty }x^{4} \;e^{-m\omega x^{2}/\hbar} \;dx = \left ( \frac{\hbar}{m \omega} \right )^{5/2}\; \left ( \frac{3}{4} \sqrt{\pi}\right )$

إذاً:

$\left \langle x^{2} \right \rangle = \frac{3}{2} \left ( \frac{\hbar}{m \omega} \right )$

ومنها نحصل على مقدار الشك uncertainty في الموضع:

$\Delta x = \sqrt{\left \langle x^{2} \right \rangle - \left \langle x \right \rangle ^{2}}= \sqrt{\left \langle x^{2} \right \rangle}=\sqrt{ \frac{3}{2} \left ( \frac{\hbar}{m \omega} \right )}$

يُتبع ...