قيمة المميزة للمؤثر الهيرميتي حقيقيه

[k2010]

السلام عليكم
أرجوا الاجابة علي هذا السؤال في أسرع وقت.
Q- أثبت أن القيمة المميزة للمؤثر الذي له الخاصية الهرميتية تكون دائما حقيقة ؟
و لكم جزيل الشكر و التقدير.

[الصادق]

اعتبر مؤثر A له متجه ket ذاتي مُطبع normalized وقيمة ذاتيه a ، وتعطى معادلة القيمة الذاتية له بالصورة التالية:



بأخذ المرافق الهيرميتي (المرافق الذي يحول متجه الـ ket الى متجه bra ويحول الاعداد المركبة الى مرافقتها المركبة ) لطرفي المعادلة (1) نحصل على

[IMG]http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cfn_cm%20%5C150dpi%20%5 C%5C%28%5Chat%7BA%7D%7C%5Cpsi%5Cran gle%29%5E%7B%5Cdagger%7D=%28a%7C%5C psi%5Crangle%29%5E%7B%5Cdagger%7D%5 C%5C%5C%5C%20%5Clangle%20%5Cpsi%7C% 20%5Chat%7BA%7D%5E%7B%5Cdagger%7D=a %5E*%5Clangle%20%5Cpsi%7C%5Cqquad%2 82%29[/IMG]

بضرب المعادلة (1) في من جهة اليسار نجد ان


وبضرب المعادلة (2) في من جهة اليمين نحصل على

[IMG]http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cfn_cm%20%5C150dpi%20%5 Clangle%20%5Cpsi%7C%5Chat%7BA%7D%5E %7B%5Cdagger%7D%7C%5Cpsi%5Crangle=a %5E*%5Clangle%20%5Cpsi%7C%5Cpsi%5Cr angle%20%5Cqquad%284%29[/IMG]

الان اذا طرحنا المعادلة (4) من المعادلة (3) فسوف نحصل على

[IMG]http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cfn_cm%20%5C150dpi%20%5 Clangle%20%5Cpsi%7C%28%5Chat%7BA%7D-%5Chat%7BA%7D%5E%7B%5Cdagger%7D%29% 7C%5Cpsi%5Crangle=%28a-a%5E*%29%5Clangle%20%5Cpsi%7C%5Cpsi %5Crangle%20%5Cqquad%285%29[/IMG]

واذا كان A مؤثر هيرميتي فانه يحُقق ولذلك وبالتعويض في المعادلة (5) فإننا نحصل على

[IMG]http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cfn_cm%20%5C150dpi%200= %28a-a%5E*%29%5Clangle%20%5Cpsi%7C%5Cpsi %5Crangle[/IMG]

وطالما ان متجه الحالة الذاتية هو متجه مُطبع اي يُحقق علاقة التطبيع فان المعادلة الاخيرة تصبح

[IMG]http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cfn_cm%20%5C150dpi%20%5 C%5Ca-a%5E*=0%5C%5C%20%5CRightarrow%20a%5 E*=a%5C%5C%20%5Ctherefore%20%5C**** %7Ba%20is%20a%20real%20eigenvalue%7 D%20%5Cqquad%20%7B%5Ccolor%7Bred%7D %20%5Csquare%20%7D[/IMG]

وعليه فان القيمة الذاتية a للمؤثر الهيرميتي A هي قيمة حقيقية

هذا والله تعالى اعلم

[الصادق]

[الموحدة لله]

بارك الله فيك اخي الفاضل د. الصادق ونفع الله بك ..

وجعله الله في ميزان حسناتك ودمتم في عون اخوانك ...

[رجب مصطفى]

An important property of Hermitian operators is that their eigenvalues are real. We can see this as follows:

if we have an eigenfunction of with eigenvalue , i.e.

then for a Hermitian operator

Since

is never negative, we must have either

or

Since

is not an acceptable wavefunction, , so is real

[الصادق]

اختي الفاضلة الموحدة لله
بارك الله فيك وجزاك كل خير
و زادك الله علماً وحكمة