علاقة عدم التأكد المعممة The Generalized Uncertainty Principle !!!

**رجب مصطفى** · 09-11-2010 09:20 AM

بسم الله الرحمن الرحيم

الحمد لله الذي صدق وعده، ونصر عبده، وأعز جنده، وهزم الأحزاب وحده، والصلاة السلام على من لا نبي بعده، رسوله الذي هدى به الأنام، وكشف به شبهات الأوهام، وعلى آله الطيبين الأطهار، وأصحابه المجاهدين الأبرار، الذين أغاظ الله بهم الكفار، وبسط بهم رحمته في جميع الأقطار

أما بعد:

فهذا إشتقاق لمبدأ عدم التأكد المعمم على أي زوج من المؤثرات !

*** ملحوظة هامة جداً كالعادة ... هذا الموضوع حصري لـ "منتدى الفيزياء التعليمي" فقط، غير ذلك سيكون واضعه سارقاً له !!!

وحتى لا أطُيل عليكم ... مع

علاقة عدم التأكد المعممة
The Generalized Uncertainty Principle

تعرض كل دارس لميكانيكا الكم لـ "مبدأ عدم التأكد Uncertainty Principle" الشهير لـ "هايزنبرج Heisenberg" والذي يربط مقدار الشك الحاصل في كمية التحرك momentum بذاك الخاص بالموضع position من خلال العلاقة:

$\Delta x \; \Delta p \geq \frac{\hbar}{2}$

والآن ... سنعمل على تعميم هذه العلاقة لأي زوج من المؤثرات operators، وليكن المؤثران $A,B$ !

وقبل أن نبدأ، نُذكِر بأن القيمة المتوقعة expectation value أو المتوسط mean لمؤثرٍ ما، وليكن المؤثر $O$ ، يأخذ بإستخدام ’’أقواس ديراك Dirac‘‘ الصورة التالية:

$\left \langle O \right \rangle = \left \langle \Psi |O|\Psi \right \rangle$

ومن دراسة الإحصاء، نجد أن الإنحراف المعياري standard deviation أو عدم التاكد أو الشك للمؤثر يُعطى من العلاقة:

مقدار الشك = الجذر التربيعي لمتوسط مربع الفرق بين القيمة ومتوسطها

وللمؤثران المعنيان، يكون مربع الشك هو:

$(\Delta A)^{2}=\left \langle {\color{red} \left (A-\left \langle A \right \rangle \right )^{2}} \right \rangle$

$(\Delta B)^{2}=\left \langle {\color{red} \left (B-\left \langle B \right \rangle \right )^{2}} \right \rangle$

لاحظ أن الطرف الأيمن عبارة عن "القيمة المتوقعة" لما في داخله ! الأمر الذي يُمكننا من كتابته على الصورة:

$(\Delta A)^{2}=\left \langle {\color{red} \left (A-\left \langle A \right \rangle \right )^{2}} \right \rangle= \left \langle \psi |\left (A-\left \langle A \right \rangle \right )^{2}| \psi \right \rangle$

$(\Delta B)^{2}=\left \langle {\color{red} \left (B-\left \langle B \right \rangle \right )^{2}} \right \rangle= \left \langle \psi |\left (B-\left \langle B \right \rangle \right )^{2}| \psi \right \rangle$

لاحظ مرة ثانية "التربيع" الموجود، لذا يمكن كتابتها مرة أخرى بالصورة:

$(\Delta A)^{2}= \left \langle \psi |\left (A-\left \langle A \right \rangle \right )^{2}| \psi \right \rangle =\left \langle {\color{red} \psi |\left (A-\left \langle A \right \rangle \right )}{\color{blue} \left (A-\left \langle A \right \rangle \right )| \psi \right \rangle}$

$(\Delta B)^{2}= \left \langle \psi |\left (B-\left \langle B \right \rangle \right )^{2}| \psi \right \rangle =\left \langle {\color{red} \psi |\left (B-\left \langle B \right \rangle \right )}{\color{blue} \left (B-\left \langle B \right \rangle \right )| \psi \right \rangle}$

والآن ... نستطيع بكل سهولة أن نفرض الدالة الموجية الـ ket في الصورة:

${\color{blue} \left | \chi \right \rangle = \left \left (A-\left \langle A \right \rangle \right )| \psi \right \rangle}$

ومنها نجد أنّ مقابلها المزدوج الـ bra هو:

${\color{red} \left \langle \chi | \right = \left \langle \psi | \right \left \left (A-\left \langle A \right \rangle \right ) }$

أي أن:

$(\Delta A)^{2}= \left \langle \psi | \right \left \left (A-\left \langle A \right \rangle \right )^{2} \left |\psi \right \rangle =\left \langle \chi |\chi \right \rangle \quad \quad \to (1)$

بالمثل مع المؤثر الآخر ... لنجد أن:

${\color{blue} \left | \phi \right \rangle = \left \left (B-\left \langle B \right \rangle \right )| \psi \right \rangle}$

ومنها نجد أنّ مقابلها المزدوج الـ bra هو:

${\color{red} \left \langle \phi | \right = \left \langle \psi | \right \left \left (B-\left \langle B \right \rangle \right ) }$

أي أن:

$(\Delta B)^{2}= \left \langle \psi | \right \left \left (B-\left \langle B \right \rangle \right )^{2} \left |\psi \right \rangle =\left \langle \phi |\phi \right \rangle \quad \quad \to (2)$

يُتبع ...