إشتقاق معامل لانديه Landé g-factor !!!

**رجب مصطفى** · 08-05-2010 06:23 AM

بسم الله الرحمن الرحيم

الحمد لله الذي صدق وعده، ونصر عبده، وأعز جنده، وهزم الأحزاب وحده، والصلاة السلام على من لا نبي بعده، رسوله الذي هدى به الأنام، وكشف به شبهات الأوهام، وعلى آله الطيبين الأطهار، وأصحابه المجاهدين الأبرار، الذين أغاظ الله بهم الكفار، وبسط بهم رحمته في جميع الأقطار

أما بعد:

فيما يلي موضوع عن

إشتقاق معامل لانديه الجيمي

Landé g-factor Derivation

*** ملحوظة هامة جداً كالعادة ... هذا الموضوع حصري لـ "منتدى الفيزياء التعليمي" فقط، غير هذا سيكون واضعه سارقاً له !!!

مقدمة ... عزم ثنائي القطب المغناطيسي:

بفرض أن لدينا ((شحنتين)) مغناطيسيتن متساويتن في المقدار ومتضادتين في الإتجاه ( $q_{m},-q_{m}$ )، فإنهما سيكونان ثنائي قطب مغناطيسي (magnetic dipole) يُعطى عزمه (moment) من العلاقة:

$\vec{\mu}=q_{m} \vec{d}$

حيث $\vec{d}$ هو المتجه الواصل بين الشحنتين وإتجاهه كما هو مُبين بالشكل التالي (من الشحنة المغناطيسية السالبة إلى الشحنة الموجبة ((المفترضتين))).

وعندما يوُضع هذا الثنائي في مجال مغناطيسي خارجي $\vec{B}$ ، وبسبب أن الشحنة $q_{m}$ تنتج قوة $\vec{F}=q_{m}\vec{B}$ ، فإن الثنائي نفسه سيُنتج عزم إزدواج (torque) عبارة عن

$\vec{\tau }=\vec{\mu}\times \vec{B}$

يعمل هذا الإزدواج على دوران الثنائي وموزاته للمجال. وبسبب هذه الإزدواج، يُصبح لثنائي القطب المغناطيسي طاقة وضع توجيهية (orientation potential energy) تُعطى من

$V=- \vec{\mu} \cdot \vec{B}=- \mu B \cos \theta$

حيث $\theta$ هي الزاوية بين إتجاه المجال وإتجاه الثنائي !

فأقل قيمة لهذه الطاقة، $- \mu B$ ، تحدث عندما تكون $\theta = 0$ أي عندما يكون إتجاه الثنائي موازي للمجال وفي نفس الإتجاه. أما أقصى قيمة لطاقة الوضع ، $\mu B$ ، فتكون عندما $\theta = \pi$ أي عندما يكون إتجاه الثنائي موازي للمجال ولكن في الإتجاه المعاكس.

وإلى هنا ونحن نُعرف ثنائي القطب المغناطيسي بدلالة الشحنات المغناطيسية ! ولكن مثل هذه الشحنات لا توجد أصلاً ! فكل الخواص المغناطيسية المعروفة للمواد تعود للحركة الدورانية للشحنات الكهربية !

يُتبع ...

**رجب مصطفى** · 08-05-2010 02:48 PM

***

وكما هو معروف أن أي مسار مغلق (أنشوطة loop) يمر به تيار كهربي يولد مجال مغناطيسي هو نفسه، على مسافة كبيرة، المجال المغناطيسي الناشيء عن ثنائي قطب مغناطيسي يوجد عند مركز هذه الأنشوطة ويكون إتجاهه عمودياً على مستواها !

وعليه سيكون عزم ثنائي القطب في هذه الحالة هو:

$\mu=IA\rightarrow (1)$

حيث $I$ هو التيار المار في الأنشوطة، و $A$ هي مساحتها.

إتجاه هذا العزم $\vec{\mu}$ (والذي هو متجه) يكون عمودياً على مستوى الأنشوطة كما بينا منذ قليل، وبالتالي سيسري التيار في إتجاه عكس عقارب الساعة بالنسبة لمُشاهد يقف على إمتداد $\vec{\mu}$ ، كما هو موضح بالشكل التالي !

مثل هذه المسارات المغلقة (loops) في ذرةٍ ما تتكون من إلكترونات دوارة، وهنا نستطيع أن نوجد علاقة مُبسطة بين العزم $\vec{\mu}$ وكمية الحركة الزاوية $\vec{L}$ للإلكترون !

فحيث أن

$I=e/T=e \nu=e \omega /2\pi$

و

$A = \pi r^{2}$

، فإنه بالتعويض في (1)، نحصل على:

$\mu = IA =\frac{-e \omega}{2\pi} \times \pi r^{2}\times\frac{m}{m}=-\frac{e}{2m} mr^{2}\omega$

ولكن $L=mr^{2}\omega$ ، إذاً يمكن أن نعيد كتابة المعادلة السابقة في الصورة المتجهة التالية:

$\vec{\mu }=\left (-\frac{e}{2m} \right )\vec{L}\rightarrow (2)$

والإشارة السالبة، والناتجة عن شحنة الإلكترون السالبة، تُبين بوضوح أن إتجاه العزم ضد إتجاه كمية الحركة الزاوية !

والكمية $\left (-e/2m \right )$ التي تربط بين $\vec{\mu}$ و $\vec{L}$ تُعرف بـ (gyromagnetic ratio) ! والمعادلة السابقة يمكن إعادة صياغتها بدلالة كمية فيزيائية أخرى على النحو التالي:

$\vec{\mu }=-\frac{e}{2m} \times \vec{L}\times\frac{\hbar}{\hbar}$

أو:

$\vec{\mu }_{L}=-\mu_{B}\frac{\vec{L}}{\hbar}\rightarrow (2-1)$

حيث:

$\mu_{B}=\frac{e\hbar}{2m}\rightarrow (SI-units)$

أو:

$\mu_{B}=\frac{e\hbar}{2mc}\rightarrow (CGS-units)$

يُعرف بـ "ماجنتون بور (Borh magneton)".

وبالإضافة لحركته المدارية، يدور الإلكترون أيضاً حول محوره في حركة تُعرف بـ "اللف أو الغزل (spin)"، وعليه سيكون هناك عزم مغناطيسي ناشيء عن هذا اللف.

وحيث أننا لا نعرف شيئاً عن شكل الإلكترون أو الكيفية التي تتوزع بها شحنته، لذا فإنه من المستحيل حساب عزمه المغناطيسي اللفي بطريقة مماثلة للطريقة المُتبعة في حالة الحركة المدارية السابقة، ولكن وُجدَ من النتائج التجريبية أن النسبة بين العزم (moment) $\vec{\mu }$ إلى كمية الحركة المغزلية (spin angular momentum) $\vec{S}$ (أو النسبة الجايرومغناطيسية) ضعف أختها في الحالة المدارية، أي أن:

$\vec{\mu} =\left (-\frac{e}{m} \right )\vec{S}\rightarrow (3)$

وبدلالة ماجنتون بور، نحصل على:

$\vec{\mu} =-\left (\frac{e \hbar}{2m} \right )\frac{2\vec{S}}{\hbar}$

أو:

$\vec{\mu}_{S} =-2 \mu_{B} \frac{\vec{S}}{\hbar}\rightarrow (3-1)$

يُتبع ...

**رجب مصطفى** · 08-05-2010 06:11 PM

***

المنشأ الذري للمغناطيسية ومعامل لانديه الجيمي !

والأن ... يمكن أن نُفسر المنشأ الذري للمغناطيسية بإعتبار الحركتين المدارية والمغزلية، وباالتالي تكون كمية الحركة الزاوية المدارية الكلية للذرة هي:

$\vec{L}=\sum_{i}\vec{L_{i}}$

مع العلم أن التجميع يشمل كل الإلكترونات الموجودة في الذرة، وحيث أن المجموع (summation) خلال غلاف ممتلئ (complete sh_ell) يكون صفراً، فسنهتم فقط بذلك الغلاف الغير ممتلئ تماماً (incomplete sh_ell). وبنفس الطريقة نجد أن كمية الحركة الزاوية المغزلية الكلية هي:

$\vec{S}=\sum_{i}\vec{S_{i}}$

وعليه تُصبح كمية الحركة الزاوية الكلية للذرة $\vec{J}$ عبارة عن حاصل الجمع المتجهي لكميتي التحرك المدارية واللفية أو المغزلية، أي:

$\vec{J}=\vec{L}+\vec{S}\rightarrow (4)$

ونظراً لوجود تفاعل بين كميتي التحرك (أو الحركة) هذه، فإن المتجهين $\vec{L},\vec{S}$ يتحركان حركة ترنحية (precession) حول محصلتهما $\vec{J}$ ، مع محافظتيهما على وضعهما بالنسبة إلى بعضهما.

ويتعين العزم المغناطيسي الناشيء عن الحركة المدارية بالمعادلة (2 – 1)، في حين يتعين العزم المغناطيسي الناشيء عن الحركة المغزلية بالمعادلة (3 – 1)، وفي كليهما نجد أنه نظراً للشحنة السالبة للإلكترون فإن إتجاه العزم يُضاد إتجاه كمية التحرك !

والعلاقات التي تربط العزوم المغناطيسية بكميات التحرك الزاوية موضحة في الشكل التالي:

وفيه ... أُختير مقياس في هذا الشكل، بحيث رُسم $\vec{\mu}_{L}$ بطول يبلغ ضعف طول $\vec{L}$ ، وعليه أصبح طول $\vec{\mu}_{S}$ أربعة أضعاف طول $\vec{S}$ ، وعلى ذلك لا تنطبق محصلة العزم المغناطيسي $\vec{\mu}$ على $\vec{J}$ .

(ملحوظة ... أحاول في كل مرة جعل الشكل المُوَضِح طبق الأصل منه في الكتاب المصدر)

وحيث أن المتجهين $\vec{L},\vec{S}$ يتحركان حركة ترنحية حول محصلتهما $\vec{J}$ ، فيجب أن تتحرك $\vec{\mu}_{L},\vec{\mu}_{S}$ حركة ترنحية حول $\vec{J}$ .

فإذا ما حُللَ كل متجه من هذه المتجهات (المقصود متجهات العزوم !) إلى مركبتين: إحداهما في إتجاه يوازي $\vec{J}$ والآخرى عمودية عليه، فإن متوسط قيمة المركبة العمودية لكل متجه خلال دورة كاملة من الحركة يساوي "صفر" لأنها تُغير إتجاهها باستمرار.

ويكون، إذن، العزم المغناطيسي الفعال (the effective magnetic moment) للذرة هو مجموع مركبتي $\vec{\mu}_{L},\vec{\mu}_{S}$ في إتجاه $\vec{J}$ (أي $\vec{\mu}_{J} \; or \; \vec{\mu}_{ef}$ ) الذي يتعين من المعادلة:

$\vec{\mu}_{J}=\vec{\mu}_{L} \cos \;(\vec{L},\vec{J})+\vec{\mu}_{S} \cos \;(\vec{S},\vec{J})\rightarrow (5)$

حيث ثُمثل $\cos \;(\vec{L},\vec{J})$ جيب تمام الزاوية المحصورة بين $\vec{L},\vec{J}$ ، وكذلك ثُمثل $\cos \;(\vec{S},\vec{J})$ جيب تمام الزاوية المحصورة بين $\vec{S},\vec{J}$ ، وبتطبيق قانون "جيب التمام" على المثلث المتكون من $\vec{L},\vec{S},\vec{J}$ ، نحصل على:

$\cos \;(\vec{L},\vec{J})=\frac{\left |\vec{L} \right |^{2}+\left |\vec{J} \right |^{2}-\left |\vec{S} \right |^{2}}{2\left |\vec{L} \right |\left |\vec{J} \right |}$

وحيث أن:

$\vec{L}=\hbar \; \sqrt{l(l+1)}, \;\;\;\;\vec{S}=\hbar \; \sqrt{s(s+1)},\;\;\;\; and \;\;\;\;\vec{J}=\hbar \; \sqrt{j(j+1)}$

إذن:

$\cos \;(\vec{L},\vec{J})=\frac{\hbar^{2} \left (l(l+1)+j(j+1)-s(s+1) \right )}{2 \hbar^{2} \sqrt{l(l+1)} \sqrt{j(j+1)}}$

أو:

$\cos \;(\vec{L},\vec{J})=\frac{l(l+1)+j(j+1)-s(s+1) }{2 \sqrt{l(l+1)} \sqrt{j(j+1)}}\quad\rightarrow (6-1)$

وبالمثل:

$\cos \;(\vec{S},\vec{J})=\frac{s(s+1)+j(j+1)-l(l+1) }{2 \sqrt{s(s+1)} \sqrt{j(j+1)}}\quad\rightarrow (6-2)$

والآن بالتعويض بهاتين القيمتين (المعادلتين 6 – 1 ، و 6 – 2) وكذلك المعادلتين (2 – 1) و (3 – 1) في المعادلة (5)، نحصل على:

$\vec{\mu}_{J}=\left ( -\mu_{B}\frac{\vec{L}}{\hbar} \right ) \frac{l(l+1)+j(j+1)-s(s+1) }{2 \sqrt{l(l+1)} \sqrt{j(j+1)}}+\left ( -2\mu_{B}\frac{\vec{S}}{\hbar} \right ) \frac{s(s+1)+j(j+1)-l(l+1) }{2 \sqrt{s(s+1)} \sqrt{j(j+1)}}$

ولكن:

$\frac{\vec{L}}{\hbar}= \; \sqrt{l(l+1)} \;\;\;\; and \;\;\;\;\frac{\vec{S}}{\hbar}= \; \sqrt{s(s+1)}$

إذن:

$\vec{\mu}_{J}=-\mu_{B}\left ( \frac{l(l+1)+j(j+1)-s(s+1) }{2 \sqrt{j(j+1)}}+\frac{2\;s(s+1)+2\;j(j+1)-2\;l(l+1) }{2\sqrt{j(j+1)}} \right )$

بتوحيد المقامات والتبسيط، نحصل على:

$\vec{\mu}_{J}=-\;\mu_{B}\left ( \frac{3j(j+1)+s(s+1)-l(l+1) }{2 \sqrt{j(j+1)}} \right )$

وبضرب البسط والمقام في الطرف الأيمن في

$\sqrt{j(j+1)}$

، نجد أن:

$\vec{\mu}_{J}=-\mu_{B}\;\sqrt{j(j+1)}\;\left ( \frac{3\;j(j+1)+s(s+1)-l(l+1) }{2 \;j(j+1)}\right )$

ومنها:

$\vec{\mu}_{J}=-\mu_{B}\;\sqrt{j(j+1)}\;\left ( 1+\frac{j(j+1)+s(s+1)-l(l+1) }{2 \;j(j+1)}\right )$

أو:

$\vec{\mu}_{J}=-\;\mu_{B}\;g\;\sqrt{j(j+1)}\;\rightarrow (7)$

أو:

$\vec{\mu}_{J}=-\;\mu_{B}\;g\;\frac{\vec{J}}{\hbar}\;\rightarrow (7-1)$

حيث:

$g=1+\frac{j(j+1)+s(s+1)-l(l+1) }{2 \;j(j+1)}\rightarrow (8)$

هو مقدار يُسمى بـ "معامل لانديه الجيمي (Landé g-factor)"، وهو يُعين إنقسام مستويات الطاقة في وجود مجال مغناطيسي خارجي ضعيف، ويُبين أن هذا الإنقسام يتعين بقيم $\vec{L},\;\vec{S},\; and\;\vec{J}$ .

يُتبع ...

**رجب مصطفى** · 09-02-2010 06:42 AM

***

من المعادلات الأخيرة يمكن أن نفرق بين حالتين:

الأولى ... هي حالة الحركة المدارية الخالصة (pure orbital motion)، والتي فيها يكون:

$s=0 \quad then\quad j=l\quad and \quad g=g_{L}=1$

وذلك من خلال التعويض في المعادلة $s=0\quad and \quad j=l$ .

إذن:

$\vec{\mu}_{L}=-\;\mu_{B}\;g_{L}\;\frac{\vec{L}}{\hbar}=-\;\mu_{B}\;\frac{\vec{L}}{\hbar}$

والثانية ... هي حالة الحركة المغزلية الخالصة (pure spin motion)، والتي فيها يكون:

$l=0 \quad then\quad j=s\quad and \quad g=g_{S}=2$

وذلك من خلال التعويض في المعادلة (8) بـ $l=0\quad and \quad j=s$ .

إذن:

$\vec{\mu}_{S}=-\;\mu_{B}\;g_{S}\;\frac{\vec{S}}{\hbar}=-\;\mu_{B}\;\frac{2\vec{S}}{\hbar}$

تم بحمد الله ورعايته

المصادر:

Elementary Solid State Physics - M. Ali Omar
Introduction to Atomic and Nuclear Physics - Henry Semat
Law of cosines - From Wikipedia, the free encyclopedia

وآخر دعوانا أن الحمد لله رب العالمين
وصلِّ اللهم وبارك على نبي الرحمة سيد ولد أدم أبى القاسم "محمد بن عبد الله" وعلى آله الطيبين الطاهرين وعلى أصحابه الغر الميامين أجمعين وسلم تسليماً كثيراً
لا تنسونا من صالح دعائكم

**mk.hewa** · 12-09-2011 11:17 PM

شكرا ياغالي بارك الله في علمك

الموضوع: إشتقاق معامل لانديه Landé g-factor !!!

أدوات الموضوع

عرض

إشتقاق معامل لانديه Landé g-factor !!!

رد: إشتقاق معامل لانديه Landé g-factor !!!

المنشأ الذري للمغناطيسية ومعامل لانديه الجيمي !

رد: إشتقاق معامل لانديه Landé g-factor !!!

رد: إشتقاق معامل لانديه Landé g-factor !!!

معلومات الموضوع

الأعضاء الذين يشاهدون هذا الموضوع

المواضيع المتشابهه

معامل الإمتصاص

كيفية استنتاج معامل الانعكاس من حاصل قسمة معامل الانكسار للوسطين واستنتاج الزاوية الحرجة

معامل الارتداد

معامل الاحتكاك(2)

الكلمات الدلالية لهذا الموضوع

مواقع النشر (المفضلة)

مواقع النشر (المفضلة)

ضوابط المشاركة