الحرارة النوعية ونموذجي أينشتاين وديباي ... ج (2) !!!

رد: الحرارة النوعية ونموذجي أينشتاين وديباي ... ج (2) !!!

***

وبالعودة لمعادلتنا الأساسية، وهي معادلة الطاقة الكلية رقم (12)، ووضع حدود التكامل، نجد أن:

$E=\frac{3V}{2\pi^{2}v_{s}^{3}}\hbar\int^{\omega_{D}}_{0} \frac{ \omega^{3}}{e^{\hbar \omega /kT}-1}d\omega\rightarrow (12-2)$

وبتفاضلها بالنسبة لدرجة الحرارة (لاحظ درجة الحرارة وليس التردد) نحصل على معادلة الحرارة النوعية التالية:

$C_{V}=\frac{3V}{2\pi^{2}v_{s}^{3}}\hbar\int^{\omega_{D}}_{0} \frac{ \omega^{3}e^{\hbar \omega /kT}\left ( \hbar \omega /kT^{2} \right )}{\left (e^{\hbar \omega /kT}-1 \right )^{2}}d\omega$

وبإعادة الترتيب ...

$C_{V}=\frac{3V}{2\pi^{2}v_{s}^{3}}\frac{\hbar^{2}}{kT^{2}}\times\frac{k}{k}\times\int^{\omega_{D}}_{0} \frac{ \omega^{4}e^{\hbar \omega /kT}}{\left (e^{\hbar \omega /kT}-1 \right )^{2}}d\omega$

ولإيجاد حل للتكامل السابق، سنضع:

$x=\hbar \omega /kT\Rightarrow \omega=\left (kT/\hbar \right )x\Rightarrow \omega^{4}=\left (kT/\hbar \right )^{4}x^{4}\Rightarrow d\omega=\left (kT/\hbar \right )dx$

إذاً ...

$C_{V}=\frac{3Vk}{2\pi^{2}v_{s}^{3}}\left (\frac{\hbar}{kT} \right )^{2}\left (\frac{kT}{\hbar} \right )^{5}\int^{\omega_{D}}_{0} \frac{ x^{4}e^{x}}{\left (e^{x}-1 \right )^{2}}dx$

أو:

$C_{V}=\frac{3Vk}{2\pi^{2}v_{s}^{3}}\left (\frac{kT}{\hbar} \right )^{3}\int^{\omega_{D}}_{0} \frac{ x^{4}e^{x}}{\left (e^{x}-1 \right )^{2}}dx$

لكن:

$\omega^{3}_{D}=\frac{6\pi^{2}v_{s}^{3}N_{A}}{V}\Rightarrow \frac{\omega^{3}_{D}}{N_{A}}=\frac{6\pi^{2}v_{s}^{3}}{V}$

وبالتعويض وإجراء مجموعة من الإختصارات البسيطة (تمرين)، نحصل على ...

$C_{V}=9R\left (\frac{kT}{\hbar\omega_{D}} \right )^{3}\int^{\omega_{D}}_{0} \frac{ x^{4}e^{x}}{\left (e^{x}-1 \right )^{2}}dx$

والآن ... دعونا نقدم الإختصار التالي:

$k\theta_{D}=\hbar\omega_{D}\Rightarrow \theta_{D}=\hbar\omega_{D}/k$

إذاً ...

$C_{V}=9R\left (\frac{T}{\theta_{D}} \right )^{3}\int^{\omega_{D}}_{0} \frac{ x^{4}e^{x}}{\left (e^{x}-1 \right )^{2}}dx$

ولكن:

$x=\hbar \omega /kT\Rightarrow x_{D}=\hbar \omega_{D} /kT \Rightarrow x_{D}=\frac{\hbar }{k T} \left ( \frac{k \theta_{D}}{\hbar} \right )\Rightarrow x_{D}=\frac{\theta_{D}}{T}$

إذاً ...

${\color{red} C_{V}=9R\left (\frac{T}{\theta_{D}} \right )^{3}\int^{\theta_{D} / T}_{0} \frac{ x^{4}e^{x}}{\left (e^{x}-1 \right )^{2}}dx}\rightarrow (14)$

وهذه هي الحرارة النوعية كما تُعطى من نموذج ديباي ! ...

يُتبع ...

الموضوع: الحرارة النوعية ونموذجي أينشتاين وديباي ... ج (2) !!!

أدوات الموضوع

عرض

مشاهدة المواضيع

رد: الحرارة النوعية ونموذجي أينشتاين وديباي ... ج (2) !!!

معلومات الموضوع

الأعضاء الذين يشاهدون هذا الموضوع

المواضيع المتشابهه

الحرارة النوعية ونموذجي أينشتاين وديباي ... ج (1) !!!

الحرارة النوعية للماء

اريد شرح الغاز المثالي و الحرارة النوعية

سؤال عن الحرارة النوعية

سؤال عن الحرارة النوعية

الكلمات الدلالية لهذا الموضوع

مواقع النشر (المفضلة)

مواقع النشر (المفضلة)

ضوابط المشاركة