الحرارة النوعية ونموذجي أينشتاين وديباي ... ج (1) !!!

**رجب مصطفى** · 07-22-2010 02:11 AM

***

السلوك السابق يمكن فهمه من خلال المناقشة التالية:

عند درجات الحرارة المرتفعة، نجد أن $kT\gg \hbar \omega$ ، والتي تعني أن المهتز التوافقي في أعلى الحالات الكمّية المُثارة. وحيث أن الطاقة الحرارية $kT$ أكبر بكثير من الطاقة الكمّية $\hbar \omega$ ، وعليه فإن الطبيعة الكمّية للطيف الناتج لن تكون ذات أهمية، وبالتالي نتوقع النتيجة الكلاسيكية السابقة $\bar{\varepsilon }=kT$ .

ورياضياً ...

عند درجات الحرارة العالية، سيكون $kT\gg \hbar \omega$ ، وعليه سيُصبح مقدار الأُس $\hbar \omega /kT$ من الصغر بمكان، الأمر الذي يُمكننا من إستخدام مفكوك الدالة الأُسية على النحو التالي:

$e^{\hbar \omega /kT}\simeq 1+\hbar \omega /kT+...$

إذاً ...

$\bar{\varepsilon }=\frac{\hbar \omega}{e^{\hbar \omega /kT}-1}\simeq\frac{\hbar \omega}{1+\hbar \omega /kT-1}$

أو:

$\bar{\varepsilon }\simeq kT \rightarrow (6)$

وهي النتيجة الكلاسيكية المعروفة !

وفي الجهة المقابلة، عند درجات الحرارة المنخفضة، نجد أن $kT \ll \hbar \omega$ ، وعليه تصبح طاقة التبادل الحراري مع الوسط المحيط $kT$ غير كافية لنقل المهتز لأول مستويات الطاقة المُثارة.

وفي هذه الحالة تكون طاقة المهتز التوافقي أقل بكثير من الطاقة $kT$ ، وهي، في الحقيقة، قريبة جداً من الصفر، كما وُجدَ سابقاً، وهنا تلعب الطبيعة الكمّية للحركة الدور الرئيس !

ورياضياً ...

عند درجات الحرارة المنخفضة، سيكون $kT\ll \hbar \omega$ ، وعليه سيُصبح مقدار الأُس $\hbar \omega /kT$ تقريباً مالا نهاية حيث $T\simeq 0$ ، وعليه:

$\bar{\varepsilon }=\frac{\hbar \omega}{e^{\hbar \omega /kT}-1}\simeq\frac{\hbar \omega}{e^{\hbar \omega /kT}}\simeq\frac{\hbar \omega}{\infty }$

أو:

$\bar{\varepsilon }\simeq0\rightarrow (7)$

وهي النتيجة الكمّية الحاصلة أيضاً !

والصيغة (5) هي نفسها التي استخدمها بلانك في نظريته لإشعاع الجسم الأسود، وحينها تم إفتراض مبدأ تكميم الطاقة لأول مرة ! وفي الواقع معالجة أينشتاين للحرارة النوعية كانت متزامنه تقريباً مع نظرية بلانك لإشعاع الجسم الأسود.

والآن يمكن أن نجد طاقة الجسم الصلب بملاحظة أن كل ذرة تُكافئ ثلاث متذبذبات توافقية ! وبالتالي سيكون هناك $3N_{A}$ من مثل هذه المتذبذات.

إذاً ... ستكون الطاقة الكلية هي:

$E=3N_{A}\large \bar{\varepsilon}= \frac{3N_{A}\hbar \omega_{E}}{e^{\hbar \omega_{E} /kT}-1}$

حيث تم إستخدام التردد الزاوي $\omega_{E}$ ، والمعروف بـ "تردد أينشتاين (the Einstein frequency)"، للإشارة للتردد الشائع للمذبذبات التوافقية !

يُتبع ...