نظرية الإضطراب Perturbation Theory ... ج (1) !!!

**رجب مصطفى** · 07-16-2010 02:06 AM

بسم الله الرحمن الرحيم

الحمد لله الذي صدق وعده، ونصر عبده، وأعز جنده، وهزم الأحزاب وحده، والصلاة السلام على من لا نبي بعده، رسولٍه الذي هدى به الأنام، وكشف به شبهات الأوهام، وعلى آله الطيبين الأطهار، وأصحابه المجاهدين الأبرار، الذين أغاظ الله بهم الكفار، وبسط بهم رحمته في جميع الأقطار

أما بعد:

فهذه تكملة لموضوع "نظرية الإضطراب Perturbation Theory" الذي بدأته سابقاً ...

*** ملحوظة هامة جداً ... هذا الموضوع حصري لـ "منتدى الفيزياء التعليمي"، ومنتدى "ملتقى الفيزيائيين العرب" فقط، غير ذلك سيكون واضعه سارقاً له !!!

وحتى لا أطُيل عليكم ... مع

مقدمة تعريفية:

في ميكانيكا الكم، لا يمكن إيجاد حلول مضبوطة لمعظم الحالات المدروسة لأن مثل هذه الحلول توجد فقط لبعض الحالات المثالية القليلة.

وعليه لحل أغلب هذه الحالات، ينبغي أن نلجأ لطرق التقريب (approximation methods)، ولقد تم تطوير العديد من هذه الطرق ولكلٍ منطقة عمله وأماكن تطبيقه. ومن الطرق المستخدمة في دراسة الحالات المستقرة (stationary states) الغير معتمدة على الزمن (time-independent) ثلاث هي: نظرية الإضطراب (perturbation theory)، طريقة التغاير (variational method)، وطريقة WKB.

فنظرية الإضطراب (perturbation theory)، تُبنى أساساً على الفرض الذي القائل بأن الحالة التي نحاول حلها تختلف، فقط، قليلاً عن تلك الحالة التي لها حلاً دقيقاً (exact solution).

فنظرية الإضطراب تعمل على إيجاد حل لمعادلة شرودنجر لأنظمة كمّية معقدة بدلالة أخرى بسيطة. والفكرة الرئيسية هنا هي البدء بنظام أو حالة بسيطة لها حل رياضي معروف، ثم إضافة حدٍ آخر يُعرف بالهاميلتونيان المضطرب (perturbing Hamiltonian) يُمثل مقدار التغير الحاصل في طاقة النظام تحت الدراسة.

فلو كان الإضطراب الحاصل غير كبير، فإن الكميات الفيزيائية المرافقة للنظام المضطرب (مثل مستويات الطاقة والدوال المميزة) ممكن أن تُعتبر كــ "تصحيحات (corrections)" لمثيلاتها في الحالة البسيطة غير المضطربة.

وهنا يتبادر سؤال يقول ... وماذا عن الحالات التي فيها لا يمكن للهاميلتونيان أن يُختزل إلى جزءٍ تام بالإضافة لآخر يُمثل التصحيح الصغير ؟!!

ولمثل هذه الحالات نستخدم إحدى الطريقتين الباقيتين !

فطريقة التغاير مفيدة، بصورة خاصة، في تقدير القيم المميزة للطاقة للحالة الأرضية والحالات المثارة القليلة الأولى لنظامٍ لدينا، فقط، فكرة عن شكل الدالة الموجية الخاصة به.

أما الطريقة الأخيرة، طريقة WKB، فهي مفيدة في إيجاد القيم المميزة للطاقة والدوال الموجية للأنظمة التي تصلح فيها الحدود الكلاسيكية.

وبخلاف نظرية الإضطراب، فإن طريقتي التغاير والـ WKB لا تتطلبان وجود هاميلتونيان يمكن حله بدقة.

تطبيق طرق التقريب في دراسة الحالات المستقرة تتكون من إيجاد القيم المميزة للطاقة والدوال الموجية للهاميلتونيان الغير معتمد على الزمن، والذي ليس له أي حلول مضبوطة.

يُتبع ...

**رجب مصطفى** · 07-16-2010 02:16 AM

نظرية الإضطراب الغير معتمدة على الزمن والغير منحله:

دائماً ما تُدرس الذرات في المعمل بواسطة تطبيق مجالات خارجية وملاحظة تأثير هذه المجالات على الخواص الذرية. وكلاً من المجال الكهربي والمغناطيسي يعمل على تغيير الأطياف الذرية والتي منها يمكن الحصول على معلومات بخصوص تركيب الذرة.

وعليه، في وجود هذه المجالات، تأخذ طاقة الوضع الصورة

$V=V_{0}(r)+{V}'(r)$

حيث $V_{0}(r)$ هو الجهد الذري البسيط، و ${V}'(r)$ هو الجهد الناتج عن المجال.

إذاً ... يتطلب الأمر حل معادلة شرودنجر باستخدام هذا الجهد الجديد، والمتضمن تأثير المجال المُطبق. وللأسف، مثل هذا الحل مُتاح فقط لحالات قليلة خاصة. وعلى كلٍ ... إذا كان المجال المُطبق ضعيف، وبالتالي الجهد الإضافي صغير، نستطيع تطوير طريقة مرضية للتقريب وذلك لحساب القيم المختلفة للطاقة وأيضاً الدوال الموجية المرافقة. مثل هذه الطريقة مقابلة لمفكوك متسلسلة تايلور كقوى للمجال. وعليه نستطيع أن نحسب القيم المختلفة للطاقة والدوال الموجية بدقة عالية بتضمين أكبر قدر ممكن من الحدود العالية في المفكوك.

ففي حساب كلاً من الدالة الموجية الأرضية لذرة الهيليوم والتركيب الدقيق لذرة الهيدروجين، يستخدم الهاملتونيان ذي الصورة التالية:

$\hat{H}=\hat{H}_{0}+{\hat{H}}' \to (1)$

والذي فيه تم تقسيم الهاميلتونيان إلى جزء $\hat{H}_{0}$ ، وهو المعروف دالته الموجية وطاقته، وجزء إضافي ${\hat{H}}'$ ، والذي هو إلى حدٍ ما صغير مقارنةً بـ $\hat{H}_{0}$ .

وبناءاً عليه ... تحاول نظرية الإضطراب البحث عن دوال موجية تقريبية للهاملتونيان الكلي $\hat{H}$ .

يُعرف $\hat{H}_{0}$ بـ "الهاميلتونيان الغير المضطرب (unperturbed Hamiltonian)"، في حين يُطلق على ${\hat{H}}'$ بـ "الهاميلتونيان المضطرب (perturbed Hamiltonian)".

نكرر مرة أخرى ... أن الفرض الذي تُبنى عليه نظرية الإضطراب هو أن القيم المميزة للدوال الموجية والطاقة للهاملتونيان الكلي لا تختلف بمقدار محسوس (أو بدرجة كبيرة) عن تلك الخاصة بالهاملتونيان الغير مضطرب.

والآن ... نفرض أن $\left \{ E_{n} \right \},\left \{ \phi_{n} \right \}$ هي القيم المميزة للدوال الموجية والطاقة، على الترتيب، للهاملتونيان الكلي $\hat{H}$ ، إذاً:

$\hat{H}\phi_{n}=\left (\hat{H}_{0}+{\hat{H}}' \right )\phi_{n}=E_{n}\phi_{n} \to (2)$

في حين تكون $\left \{ E^{(0)}_{n} \right \},\left \{ \phi^{(0)}_{n} \right \}$ هي القيم المميزة للدوال الموجية والطاقة، على الترتيب، للهاملتونيان الغير مضطرب $\hat{H}_{0}$ ، أي:

$\hat{H}_{0}\phi^{(0)}_{n}=E^{(0)}_{n}\phi^{(0)}_{n}$

وحيث أن ${\hat{H}}'< \hat{H}_{0}$ ، فإننا نستطيع أن نكتب:

$\phi_{n}=\phi^{(0)}_{n}+\Delta \phi_{n}$
$E_{n}=E^{(0)}_{n}+\Delta E_{n}$

حيث $\Delta E_{n},\Delta \phi_{n}$ هي عبارة عن تصحيح صغير لــ $E^{(0)}_{n},\phi^{(0)}_{n}$ ، على التوالي.

وللإحتفاظ بصغر المقدار ${\hat{H}}'$ ، فإنه يمكن كابته على الصورة $\lambda {\hat{H}}'$ حيث $\lambda$ مجرد بارامتر متناهي الصغر (وسنعتبره = 1 لاحقاً، وهذا لن يغير من الأمر شيء)، وعليه فإن:

${\color{red} \left (\hat{H}_{0}+\lambda{\hat{H}}' \right )\phi_{n}=E_{n}\phi_{n} \to (3)}$

إذاً ... من المعادلة السابقة نجد أن $\phi_{n}\Rightarrow \phi^{(0)}_{n}$ عندما $\lambda \Rightarrow 0$ ، وبالمثل مع الطاقة، وعليه يمكن أن نكتب الدوال الموجية والطاقة على الصورة:

$\phi_{n}=\phi^{(0)}_{n}+\lambda\phi^{(1)}_{n}+\lambda^{2}\phi^{(2)}_{n}+...$

$E_{n}=E^{(0)}_{n}+\lambda E^{(1)}_{n}+\lambda^{2}E^{(2)}_{n}+...$

وبالتعويض في المعادلة رقم (3)، نجد أن:

$\left (\hat{H}_{0}+\lambda{\hat{H}}' \right )\left ( \phi^{(0)}_{n}+\lambda\phi^{(1)}_{n}+\lambda^{2}\phi^{(2)}_{n}+... \right )=$
$\left ( E^{(0)}_{n}+\lambda E^{(1)}_{n}+\lambda^{2}E^{(2)}_{n}+... \right )\left ( \phi^{(0)}_{n}+\lambda\phi^{(1)}_{n}+\lambda^{2}\phi^{(2)}_{n}+... \right )$

بالفك وإعادة الترتيب (((في طرف واحد))) وأخذ الحدود المشتركة، نحصل على التالي:

$\left ( \hat{H}_{0}\phi^{(0)}_{n}-E^{(0)}_{n}\phi^{(0)}_{n} \right )+\lambda\left ( {\hat{H}}'\phi^{(0)}_{n}+\hat{H}_{0}\phi^{(1)}_{n}-E^{(0)}_{n}\phi^{(1)}_{n}-E^{(1)}_{n}\phi^{(0)}_{n}\right )+$
$\lambda^{2}\left ( \hat{H}_{0}\phi^{(2)}_{n}+{\hat{H}}'\phi^{(1)}_{n}-E^{(0)}_{n}\phi^{(2)}_{n}-E^{(1)}_{n}\phi^{(1)}_{n}-E^{(2)}_{n}\phi^{(0)}_{n} \right )+...=0$

(((يا ليت يا إخوان مراجعة المعادلة السابقة ... لأنه صراحةً تعبتني عيناي وأنا أحاول الترتيب، لكن إن شاء الله ما في نقص أو خطأ)))

ومنها نجد أن ...

$\hat{H}_{0}\phi^{(0)}_{n}=E^{(0)}_{n}\phi^{(0)}_{n}$

$\left (E^{(1)}_{n}-{\hat{H}}' \right )\phi^{(0)}_{n}=\left (\hat{H}_{0}-E^{(0)}_{n} \right )\phi^{(1)}_{n} \to (4)$

$E^{(2)}_{n}\phi^{(0)}_{n}+\left (E^{(1)}_{n}-{\hat{H}}' \right )\phi^{(1)}_{n}=\left ({\hat{H}}_{0}-E^{(0)}_{n} \right )\phi^{(2)}_{n}\rightarrow (5)$

وهكذا ...

يُتبع ...

**رجب مصطفى** · 07-16-2010 02:20 AM

التصحيحات من الرتبة الأولى (First-Order Corrections):

من المعادلة رقم (4)، نجد أن الهاميلتونيان ${\hat{H}}_{0}$ يؤثر على الدالة $\phi^{(1)}_{n}$ ، الأمر الذي يُمكننا من كتابة هذه الدالة كتراكب (superposition) من الدوال المميزة للهاميلتونيان السابق، أي:

$\left | \phi^{(1)}_{n} \right \rangle=\sum_{i}C_{ni}\left | \phi^{(0)}_{i} \right \rangle\rightarrow (6)$

وبكتابة المعادلة (4) في صورة الـ ket vector نجد أن:

$\left (E^{(1)}_{n}-{\hat{H}}' \right )\left | \phi^{(0)}_{n} \right \rangle=\left (\hat{H}_{0}-E^{(0)}_{n} \right )\left | \phi^{(1)}_{n} \right \rangle\rightarrow (4-1)$

وبالتعويض في المعادلة رقم (4-1) بالمعادلة (6) وفك الحدود المشتركة:

$E^{(1)}_{n}\left | \phi^{(0)}_{n} \right \rangle-{\hat{H}}'\left | \phi^{(0)}_{n} \right \rangle \right =C_{ni}\hat{H}_{0}\left | \phi^{(0)}_{i} \right \rangle-C_{ni}E^{(0)}_{n} \right \left | \phi^{(0)}_{i} \right \rangle$

ملحوظة ... أهملنا علامة الجمع (sum) لأن المراد إيجاد صورة المعامل (coefficient of expansion) $C_{ni}$ .

بضرب طرفي المعادلة من اليسار بنفس الدالة الغير مضطربة ولكن في حالة أخرى (ولتكن الحالة $j$ ) وفي صورة الـ bra vector، أي:

$\left \langle \phi^{(0)}_{j} \right |$

إذاً ...

${\color{red} \, E^{(1)}_{n}\left \langle \phi^{(0)}_{j}|\phi^{(0)}_{n}\right \rangle-\left \langle \phi^{(0)}_{j}|{\hat{H}}'|\phi^{(0)}_{n} \right \rangle=C_{ni}\left (\left \langle \phi^{(0)}_{j} |\hat{H}_{0}| \phi^{(0)}_{i} \right \rangle-E^{(0)}_{n}\left \langle \phi^{(0)}_{j}|\phi^{(0)}_{i} \right \rangle \right )}$

لكن:

$\hat{H}_{0}\left | \phi^{(0)}_{i} \right \rangle=E^{(0)}_{i}\left | \phi^{(0)}_{i} \right \rangle$

إذاً ...

${\color{blue} \, E^{(1)}_{n}\left \langle \phi^{(0)}_{j}|\phi^{(0)}_{n}\right \rangle-\left \langle \phi^{(0)}_{j}|{\hat{H}}'|\phi^{(0)}_{n} \right \rangle=C_{ni}\left (E^{(0)}_{i}\left \langle \phi^{(0)}_{j} | \phi^{(0)}_{i} \right \rangle-E^{(0)}_{n}\left \langle \phi^{(0)}_{j}|\phi^{(0)}_{i} \right \rangle \right )}$

يُتبع ...

**رجب مصطفى** · 07-16-2010 02:24 AM

والآن ... عندما تكون $j=i$ ، نحصل على:

${\color{white} \, E^{(1)}_{n}\left \langle \phi^{(0)}_{i}|\phi^{(0)}_{n}\right \rangle-\left \langle \phi^{(0)}_{i}|{\hat{H}}'|\phi^{(0)}_{n} \right \rangle=C_{ni}\left (E^{(0)}_{i}\left \langle \phi^{(0)}_{i} | \phi^{(0)}_{i} \right \rangle-E^{(0)}_{n}\left \langle \phi^{(0)}_{i}|\phi^{(0)}_{i} \right \rangle \right )}$

أو:

$\, E^{(1)}_{n}\left \langle \phi^{(0)}_{i}|\phi^{(0)}_{n}\right \rangle-{\hat{H}}'_{in}=C_{ni}\left ( E^{(0)}_{i}-E^{(0)}_{n} \right )$

حيث:

${\hat{H}}'_{in}=\left \langle \phi^{(0)}_{i}|{\hat{H}}'|\phi^{(0)}_{n} \right \rangle$

و:

$\left \langle \phi^{(0)}_{i}|\phi^{(0)}_{n} \right \rangle=\delta_{in}$

وإذا كانت $i\neq n$ ، فإن:

$C_{ni}\left ( E^{(0)}_{n}-E^{(0)}_{i} \right )={\hat{H}}'_{in}$

أو:

$C_{ni}=\frac{{\hat{H}}'_{in}}{\left ( E^{(0)}_{n}-E^{(0)}_{i} \right )}$

إذاً ...

$\left | \phi^{(1)}_{n} \right \rangle=\sum_{i}C_{ni}\left | \phi^{(0)}_{i} \right \rangle=\sum_{i\neq n}\frac{{\hat{H}}'_{in}}{\left ( E^{(0)}_{n}-E^{(0)}_{i} \right )}\left | \phi^{(0)}_{i} \right \rangle$

أو ...

$\phi^{(1)}_{n}=\sum_{i\neq n}\frac{{\hat{H}}'_{in}}{\left ( E^{(0)}_{n}-E^{(0)}_{i} \right )}\phi^{(0)}_{i}$

وهذا هو التصحيح من الرتبة الأولى للدالة الموجية.

يُتبع ...

**رجب مصطفى** · 07-16-2010 02:27 AM

ولإيجاد التصحيح من نفس الرتبة للطاقة نعود للمعادلة المظللة بالمستطيل الأسود، وبوضع $i=n$ نجد أن الطرف الأيمن سيساوي صفراً وبالتالي نحصل على العلاقة:

$E^{(1)}_{n}=\left \langle \phi^{(0)}_{n}|{\hat{H}}'|\phi^{(0)}_{n} \right \rangle={\hat{H}}_{nn}$

وهذا هو التصحيح من الرتبة الأولى للطاقة، وونلاحظ أن هذا التصحيح هو عبارة عن القيمة المتوقعة للإضطراب في الحالة الغير مضطربه !

إذاً تصبح الصورة الكلية للدالة الموجية هو ...

$\phi_{n}=\phi^{(0)}_{n}+\sum_{i\neq n}\frac{{\hat{H}}'_{in}}{\left ( E^{(0)}_{n}-E^{(0)}_{i} \right )}\phi^{(0)}_{i}$

وبالمثل مع الطاقة، لنجد أن ...

$E_{n}=E^{(0)}_{n}+{\hat{H}}'_{nn}$

والله أعلى وأعلم

المصادر:

Introductory Quantum Mechanics - Liboff
Quantum Mechanics Concepts and Applications - 1st Ed. - Nouredine Zettili
Quantum Mechanics - (UCSD Physics 130)
Elementary Solid State Physics - M. Ali Omar
Perturbation theory (quantum mechanics) - From Wikipedia, the free encyclopedia

ملحوظة ... المصدر الأول هو الأساس في الشرح، أما ما يليه فهو لتجميع أكبر قدر من المعلومات عن التعريف الفيزيائي لنظرية الإضطراب كما إقترح د / رشوان، وطبعاً ... بالإضافة لبعضٍ من أفكاري الخاصة !!!

نظرية الإضطراب Perturbation Theory ... ج (2) !!!

قبل الدخول ... صلِّ على حبيبك المصطفى (صلى الله عليه وسلم) وعلى آله وصحبه أجمعين

وآخر دعوانا أن الحمد لله رب العالمين
وصلِّ اللهم وبارك على نبي الرحمة سيد ولد أدم أبى القاسم "محمد بن عبد الله" وعلى آله الطيبين الطاهرين وعلى أصحابه الغر الميامين أجمعين وسلم تسليماً كثيراً
لا تنسونا من صالح دعائكم

**د.محمد فتحى** · 07-16-2010 02:28 AM

شكرا على هذا المجهود الرائع فعلا موضوع شيق وجميل

**رجب مصطفى** · 07-16-2010 02:38 AM

المشاركة الأصلية كتبت بواسطة د.محمد فتحى

شكرا على هذا المجهود الرائع فعلا موضوع شيق وجميل

جزاك الله خيراً ... د / محمد فتحي ... وشكراً على مروركم العطر ...

في أمان الله ...