بسم الله الرحمن الرحيم

الحمد لله الذي صدق وعده، ونصر عبده، وأعز جنده، وهزم الأحزاب وحده، والصلاة السلام على من لا نبي بعده، رسولٍه الذي هدى به الأنام، وكشف به شبهات الأوهام، وعلى آله الطيبين الأطهار، وأصحابه المجاهدين الأبرار، الذين أغاظ الله بهم الكفار، وبسط بهم رحمته في جميع الأقطار

أما بعد:

فهذه تكملة لموضوع "نظرية الإضطراب Perturbation Theory" الذي بدأته سابقاً ...

*** ملحوظة هامة جداً ... هذا الموضوع حصري لـ "منتدى الفيزياء التعليمي"، ومنتدى "ملتقى الفيزيائيين العرب" فقط، غير ذلك سيكون واضعه سارقاً له !!!

وحتى لا أطُيل عليكم ... مع

مقدمة تعريفية:

في ميكانيكا الكم، لا يمكن إيجاد حلول مضبوطة لمعظم الحالات المدروسة لأن مثل هذه الحلول توجد فقط لبعض الحالات المثالية القليلة.

وعليه لحل أغلب هذه الحالات، ينبغي أن نلجأ لطرق التقريب (approximation methods)، ولقد تم تطوير العديد من هذه الطرق ولكلٍ منطقة عمله وأماكن تطبيقه. ومن الطرق المستخدمة في دراسة الحالات المستقرة (stationary states) الغير معتمدة على الزمن (time-independent) ثلاث هي: نظرية الإضطراب (perturbation theory)، طريقة التغاير (variational method)، وطريقة WKB.

فنظرية الإضطراب (perturbation theory)، تُبنى أساساً على الفرض الذي القائل بأن الحالة التي نحاول حلها تختلف، فقط، قليلاً عن تلك الحالة التي لها حلاً دقيقاً (exact solution).

فنظرية الإضطراب تعمل على إيجاد حل لمعادلة شرودنجر لأنظمة كمّية معقدة بدلالة أخرى بسيطة. والفكرة الرئيسية هنا هي البدء بنظام أو حالة بسيطة لها حل رياضي معروف، ثم إضافة حدٍ آخر يُعرف بالهاميلتونيان المضطرب (perturbing Hamiltonian) يُمثل مقدار التغير الحاصل في طاقة النظام تحت الدراسة.

فلو كان الإضطراب الحاصل غير كبير، فإن الكميات الفيزيائية المرافقة للنظام المضطرب (مثل مستويات الطاقة والدوال المميزة) ممكن أن تُعتبر كــ "تصحيحات (corrections)" لمثيلاتها في الحالة البسيطة غير المضطربة.

وهنا يتبادر سؤال يقول ... وماذا عن الحالات التي فيها لا يمكن للهاميلتونيان أن يُختزل إلى جزءٍ تام بالإضافة لآخر يُمثل التصحيح الصغير ؟!!

ولمثل هذه الحالات نستخدم إحدى الطريقتين الباقيتين !

فطريقة التغاير مفيدة، بصورة خاصة، في تقدير القيم المميزة للطاقة للحالة الأرضية والحالات المثارة القليلة الأولى لنظامٍ لدينا، فقط، فكرة عن شكل الدالة الموجية الخاصة به.

أما الطريقة الأخيرة، طريقة WKB، فهي مفيدة في إيجاد القيم المميزة للطاقة والدوال الموجية للأنظمة التي تصلح فيها الحدود الكلاسيكية.

وبخلاف نظرية الإضطراب، فإن طريقتي التغاير والـ WKB لا تتطلبان وجود هاميلتونيان يمكن حله بدقة.

تطبيق طرق التقريب في دراسة الحالات المستقرة تتكون من إيجاد القيم المميزة للطاقة والدوال الموجية للهاميلتونيان الغير معتمد على الزمن، والذي ليس له أي حلول مضبوطة.

يُتبع ...