اشتقاق قوانين كيبلر

**مروة إبراهيم** · 06-30-2010 10:25 PM

لاحظت وجود أكثر من سؤال في منتدى الفلكية عن: لماذا تدور الكواكب حول الشمس في مدارات إهليجية؟
وتكون الإجابة في الغالب، لأن قانون كيبلر الأول يقول هكذا!
فأحببت أن أشارككم باشتقاق لقوانين كيبلر

والمصدر الرئيسي هو كتاب:
Advanced Astrophysics, Neb Duric
ويمكن تحميله على هذا الرابط: http://hazemsakeek.com/up/download.php?id=897
بالإضافة إلى بعض الصفحات على الإنترنت سأشير إليها في مواضعها بإذن الله

كما في العديد من مسائل الميكانيكا الكلاسيكية نبدأ باللجرانجيان

$\120dpi \large L=T-V\; \; \; \;\; \; \;\;\;\;\;\; (1)$

حيث $\120dpi \large T$ هي طاقة الحركة و $\120dpi \large V$ هي طاقة الوضع

ولنجعل m كتلة الكوكب و M كتلة الشمس حيث يكون للكواكب كتلة أقل بكثير من كتلة الشمس (M>>m) ونحن الآن بصدد تفاعل بين جسمين ولذلك فإن الحركة المتوقعة تكون في مستوى وربما كانت دورية.

ولذلك فإنه من المناسب استخدام الإحداثيات القطبية r و ө

حيث

$\120dpi \large V_{\perp }= \omega r=\frac{\mathrm{d\theta } }{\mathrm{d} t}r=r\dot{\theta }$
و

$\120dpi \large V_{\parallel }= \frac{\mathrm{d} r}{\mathrm{d} t} =\dot{r}$
و

$\120dpi \large V^{2}=V_{\perp }^{2}+ V_{\parallel}^2$

وهكذا يمكن كتابة المعادلة (1) كالتالي:

$\120dpi \large L=\frac{1}{2}m\left ( \dot{r}^2+r^2\dot{\theta }^2 \right )-V(r)\;\;\;\;\;\; (2)$

والآن يمكننا حساب كمية التحرك الزاوي $\120dpi \large p_{\theta }$ من اللاجرانجيان:

$\120dpi \large p_{\theta }=\frac{\partial L}{\partial \dot{\theta}}=mr^2\dot{\theta}$

وبإجراء التفاضل الجزئي للمعادلة (2)

$\120dpi \large \frac{\partial L}{\partial \theta}=0$

$\120dpi \large \frac{\partial L}{\partial \dot{\theta}}=\frac{\partial }{\partial \dot{\theta} }\left ( \frac{1}{2}m\dot{r}^2 \right )+\frac{\partial }{\partial \dot{\theta}} \left ( \frac{1}{2}mr^2 \dot{\theta}^2 \right )$

$\120dpi \large =0+2\times \frac{1}{2}mr^2\dot{\theta}$

$\120dpi \large \therefore \frac{\partial L}{\partial \dot{\theta}}=mr^2\dot{\theta}$

ونستخدم الآن معادلة لاجرانج للحركة

$\120dpi \large \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t} \frac{\partial L}{\partial \dot{\theta}}-\frac{\partial L}{\partial \theta}=0$

وبالتعويض عن $\120dpi \small \frac{\partial L}{\partial \theta}$ و $\120dpi \small \frac{\partial L}{\partial \dot{\theta}}$ نجد أن:

$\120dpi \large \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t} \left (mr^2\dot{\theta} \right )=0$

و بتكامل الطرفين
$\120dpi \large mr^2\dot{\theta} = l=constant$

وهذه المعادلة تمثل بقاء كمية الحركة الزاوية

يتبع....

**مروة إبراهيم** · 06-30-2010 11:23 PM

بقسمة طرفي المعادلة التي حصلنا عليها على $\120dpi \large 2m$

$\120dpi \large \frac{1}{2}r^2 \dot{\theta}=\frac{1}{2}\, \frac{l}{m}=constant$

تذكر أن مساحة المثلث (عن طريق الإحداثيات القطبية):
$\120dpi \large dA= \frac{r^2}{2}\, d\theta$

وعلى هذا يكون

$\120dpi \large \frac{\mathrm{d}A }{\mathrm{d} t}=\frac{r^2}{2}\left ( \frac{d\theta}{dt} \right )=\frac{1}{2}\left r^2\dot{\theta}=constant$

ونرى من هذه المعادلة أن:
نصف قطر المدار يمسح مساحات متساوية في في أزمنة متساوية وهو بالطبع قانون كيبلر الثاني.

يتبع....

**مروة إبراهيم** · 07-01-2010 01:35 AM

الهاملتونيان أو الطاقة الكلية لنظام من جسمين

$\120dpi \large E=T+V=\frac{1}{2} m(\dot{r}^2+r^2 \dot{\theta}^2 )+V(r)$

وبجعل $\120dpi \large \dot{r}$ في طرف

$\120dpi \large \dot{r}^2 =\frac{2}{m}\left ( E-V\left (r \right ) \right )-r^2\dot{\theta}^2$

$\120dpi \large \dot{r}^2 =\frac{2}{m}\left ( E-V\left (r \right ) \right )-\left ( \frac{l}{rm} \right )^2$

$\120dpi \large \Rightarrow \; \dot{r}=\frac{dr}{dt}=\sqrt{\frac{2}{m}\left ( E-V(r)-\frac{l^2}{2mr^2} \right )}$

بجعل $\120dpi \small dt$ في طرف

$\120dpi \large dt =\frac{dr}{d\dot{r}}=\frac{dr}{\sqrt{\frac{2}{m}\left ( E-V(r)-\frac{l^2}{2mr^2} \right )}}$

ويمكن استخدام هذه المعادلة لتعيين شكل مدار جسم حول آخر(وهو ما يقودنا مباشرة إلى قانون كيبلر الأول)، وما نحتاجه حقيقة هو دالة في ثيتا $\120dpi \small r(\theta)$ مما يتتطلب تحويل المعادلة السابقة إلى علاقة بين r و $\120dpi \small \theta$ ونتخلص من t في أثناء ذلك.

نبدأ بملاحظة أن $\120dpi \small r^2\dot{\theta}=r^2(d\theta/dt)=l/m$

أي أن

$\120dpi \large l\; dt=mr^2d\theta$

$\120dpi \large \Rightarrow \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}=\frac{l}{mr^2}\frac{d}{d\theta}$

$\120dpi \large \frac{mr^2}{l}d\theta=\frac{dr}{\sqrt{2/m(E-V(r)-(l^2/(2mr^2)))}}$

$\120dpi \large \Rightarrow d\theta=\frac{l\; dr}{mr^2\sqrt{2/m(E-V(r)-(l^2/(2mr^2)))}}$

$\120dpi \large \theta=\int_{r_0}^{r}\frac{dr}{r^2\sqrt{(2mE/l^2)-(2mV/l^2)-(1/r^2)}}+\theta_0\; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; (3)$

دع $\120dpi \small \mu=1/r$ وعوض في المعادلة (3)

$\120dpi \large \theta=\theta_0-\int_{\mu_0}^{\mu}\frac{d\mu}{r^2\sqrt{(2mE/l^2)-(2mV/l^2)-\mu^2}}$

وحيث أن

$\120dpi \small V=-(GmM)/r=-k/r=-k\mu$

(إنظر الرابط)

$\120dpi \large \theta=\theta_0-\int_{\mu_0}^{\mu}\frac{d\mu}{r^2\sqrt{(2mE/l^2)+(2mk\mu/l^2)-\mu^2}}\; \; \; \; \; \; \; \; (4)$

يتبع....

**مروة إبراهيم** · 07-02-2010 12:55 AM

وبما أن

$\120dpi \large \int \frac{dx}{\sqrt{a+bx+cx^2}}=\frac{1}{\sqrt{-c}}\cos^{-1}\left [ \frac{-b+2cx}{q} \right ] \; \; \; \; \; \;\; \; \; (5)$

(انظر الرابط)

حيث

$\120dpi \large q=b^2-4ac$

وبمقارنة المعادلة (4) بـ (5) نجد أن

$\120dpi \large a=\frac{2mE}{l^2}$
$\120dpi \large b=\frac{2mk}{l^2}$
$\120dpi \large c=-1$

$\120dpi \large q=\left (\frac{2mk}{l^2} \right )^2 \left ( 1+\frac{2El^2}{mk^2} \right )$

ويصبح حل المعادلة (4) كالتالي:

$\120dpi \large \theta=\theta^{’}-cos^{-1}\left [ \frac{(l^2\mu/mk)-1}{\sqrt{1+(2El^2/mk^2)}} \right ]$

حيث $\120dpi \small \theta^{’}$ تمثل دمج الثوابت الناتجة عن التكامل

وبجعل $\120dpi \small \mu=1/r$ كما كانت وأخذ جيب التمام للطرفين

$\120dpi \large \frac{1}{r}=\frac{mk}{l^2}\left ( 1+\sqrt{1+\frac{2El^2}{mk^2}}cos(\theta-\theta’) \right )$

والآن لدينا الحل، $\120dpi \small r(\theta)$ تحدد شكل المدار ومن الواضح أنها تعتمد على الطاقة $\120dpi \small E$ وكمية الحركة الزاوية $\120dpi \small l$
وبالملاحظة نرى ان هذه المعادلة يمكن مقارنتها بمعادلة القطع المخروطي

$\120dpi \large\large \frac{1}{r}=C\left ( 1+\epsilon \; cos(\theta-\theta’) \right )\;\;\;\;\;\;\;(6)$

بمقارنة المعادلتين السابقتين نرى أن

$\120dpi \large\large C=\frac{mk}{l^2}\; \; \; \; \; \; \; (7)$

$\120dpi \large \epsilon =\sqrt{1+\frac{2El^2}{mk^2}}$

المتغير الوحيد الذي يمكن أن يكون سالباً هو الطاقة الكلية للنظام
فإما أن يكون

شكل المدار قطع زائد: $\120dpi \small E> 0\rightarrow \epsilon > 1\: \: \: \: \: \: \: hyperbola$

شكل المدار قطع مكافئ: $\120dpi \small E= 0\rightarrow \epsilon = 1\: \: \: \: \: \: \: parabola$

شكل المدار قطع ناقص: $\120dpi \small E< 0\rightarrow \epsilon < 1\: \: \: \: \: \: \: ellipse$

شكل المدار دائري: $\120dpi \small E=-\frac{1}{2}V=-\frac{mk^2}{2l^2}\rightarrow \epsilon =0 \: \: \: \: \: \: \: circle$

وكواكب المجموعة الشمسية تتحرك في مدارات مغلقة $\120dpi \small \left ( E<0 \right )$ في مسارات إهليجية وهذا هو قانون كيبلر الأول.

يتبع....

يمكننا الآن استنتاج القانون الثالث لكيبلر، نبدأ باستخدام القانون الثاني ونكامله على دورة كاملة من المدار فينتج:

(8) $\120dpi \small\large \int_{0}^{P}\dot{A}\;{d}t=\frac{1}{2}\frac{l}{m}P=\pi ab$

حيث $\120dpi \small \pi ab$ هو مساحة الشكل الإهليجي (أنظر الرابط-

) حيث $\120dpi \small a$ و $\120dpi \small b$ نصف المحور (أو القطر) الأكبر و نصف المحور (أو القطر) الأصغر للمدار الإهليجي، ومن المعادلة (6) يمكننا أن نعرف $\120dpi \small a$ على أنه مجموع المسافة التي تقابل $\120dpi \small \theta=\theta’$ و $\120dpi \small \theta=\theta’+\pi$

$\120dpi \large a=\frac{1}{c(1-\epsilon^2)}$

وبالتعويض في المعادلة المعروفة التي تربط بين a و b

$\120dpi \large b=a\sqrt{(1-\epsilon^2)}$

ينتج أن:

$\120dpi \large b=\sqrt{\frac{\: a\; }{c}}$

وبالتعويض عن $\120dpi \small C$ من المعادلة (7) ينتج أن:

$\120dpi \large b=\sqrt{a}\sqrt{\frac{l^2}{mk}}$

وبالتعويض عن b في معادلة قانون كيبلر الثاني (8)

$\120dpi \large \frac{1}{2}\frac{l}{m}P=\pi a^{3/2}\sqrt{\frac{l^2}{mk}}$

$\120dpi \large \Rightarrow P=2\pi a^{3/2}\sqrt{\frac{m}{k}}$

$\120dpi \large \Rightarrow P=\frac{2\pi}{\sqrt{GM}}\; a^{3/2}$

وبتربيع هذه المعادلة الأخيرة

$\120dpi \large P^{2}=\frac{4\pi^{2}}{GM}\; a^{3}$

وهذه المعادلة ليست إلا قانون كيبلر الثالث، مربع زمن دورة الكوكب حول الشمس تتناسب مع مكعب نصف القطر الأكبر.

______________

"اللهم صل على سيدنا محمد صلاة ترضيك وترضيه وترضى بها عنا يا رب العالمين"
"سُبْحَانَكَ اللَّهُمَّ وَبِحَمْدِكَ ، أَشْهَدُ أَنْ لا إِلهَ إِلَّا أَنْتَ أَسْتَغْفِرُكَ وَأَتْوبُ إِلَيْكَ"

**رجب مصطفى** · 07-02-2010 01:23 AM

بسم الله ما شاء الله ...

تألق واضح لكِ ... الأخت الفاضلة / مروة ...

موضوع رائع وعرض أكثر روعة ...

كنت أود أن لا أكتب هذه المشاركة إلا بعد إتمام الموضوع ... ولكن لابد مما لابد منه وهو الشكر لله أولاً وأخيراً ثم لكِ ...

في إنتظار إتمام الموضوع والمزيد من هذه المواضيع !!!

في أمان الله

**مروة إبراهيم** · 07-02-2010 01:32 AM

المشاركة الأصلية كتبت بواسطة رجب مصطفى

بسم الله ما شاء الله ...

تألق واضح لكِ ... الأخت الفاضلة / مروة ...

موضوع رائع وعرض أكثر روعة ...

كنت أود أن لا أكتب هذه المشاركة إلا بعد إتمام الموضوع ... ولكن لابد مما لابد منه وهو الشكر لله أولاً وأخيراً ثم لكِ ...

في إنتظار إتمام الموضوع والمزيد من هذه المواضيع !!!

في أمان الله

شكرا لك أخي الكريم ،رجب مصطفى، جزاك الله كل خير

**الفيزقية** · 07-02-2010 04:10 AM

بارك الله فيكي أخت مروة على الموضوع الرائع الذي أتحفتينا به...
جزيتي خيرا على ما قدمتيه..

الموضوع: اشتقاق قوانين كيبلر

أدوات الموضوع

عرض

Hybrid View

اشتقاق قوانين كيبلر

رد: اشتقاق قوانين كيبلر

رد: اشتقاق قوانين كيبلر

رد: اشتقاق قوانين كيبلر

رد: اشتقاق قوانين كيبلر

رد: اشتقاق قوانين كيبلر

معلومات الموضوع

الأعضاء الذين يشاهدون هذا الموضوع

المواضيع المتشابهه

اشتقاق

ـ الـشرح الميسـر لقوانين كيبلر ~

مركبة الشحن كيبلر تقترب من المحطة الفضائية الدولية

العالم الكبير : جوهانز كيبلر

الجسيمات الاوليه لا تخترق قوانين الحفظ و تضيف اليها قوانين اخري لم نعهدها من قبل

مواقع النشر (المفضلة)

مواقع النشر (المفضلة)

ضوابط المشاركة