غموض انحناء الزمكان

**رجب مصطفى** · 06-10-2010 08:01 AM

السلام عليكم ورحمة الله وبركاته

هذا هو الصادق الذي أعرفه ... وهذا ما كان متوقع منه

زادك الله علماً وإيماناً أخي العزيز ...

وصلِّ اللهم على المصطفى "محمد بن عبد الله" وعلى آله الأطهار وصحبه الأخيار رضي الله عنهم أجمعين ...

**محمد عريف** · 06-10-2010 08:37 AM

شرح ممتاز ووافي استاذي الصادق

بارك الله فيك وزادك علماً

مع وافر احترامي وتقديري

**مبتدئ 1** · 06-10-2010 12:08 PM

إقتباس:
المشاركة الأصلية بواسطة الصادق

اخي العزيز قسورة
حياك الله تعالى
نعم اخي اتفق معك بان هذا الامر قد يقود الى اللتباس

و دعني اقول اولاً : في حالة السقوط الحر ينعدم وزن الجسم الساقط وبالتالي لا توجد قوة تثاقل في مناط السقوط الحر و الجسم الساقط يتحرك في خط جيوديسي (اقصر خط بين نقتطين في الفضاء المنحني-الريماني) في الزمكان
اذن من هنا نستقراء النقاط التالية:
الحركة داخل مناط السقوط الحر:
1-الجسم الساقط سقوطاً حراً لا يشعر بوزنه و بالتالي لا يشعر بقوة جذب تثاقلي بينه وبين مركز الجسم الجاذب
2-نسبة لعدم وجود قوة تثاقل فان مناط السقوط الحر هو مناط يُحقق محلياً locally قوانين النسبية الخاصة اي ان الهندسة فيه هي هندسة منكوفسكي المستوية و بالتالي اي جسم داخل مناط السقوط الحر اما ان يكون ساكناً عن الحركة او متحركاً بسرعة ثابتة في خط مستقيم (مالم تؤثر عليه قوة خارجية) في هندسة مناط السقوط الحر المستوية محلياً

البرهان:
الجسم الساقط سقوطاُ حراً يحقق معادلة الحركة التالية (قانونيوتن للحركة)

$\120dpi \frac{\mathrm{d^2} x}{\mathrm{d} t^2}=g \\$
و اذا ذهبنا الى مناط السقوط الحراي قمنا بتغير الاحداثيات من x الى ’x على النحو
$\120dpi x'(x,t)=x-\frac{1}{2}gt^2$
الان بتفاضل (المشتقة الثانية) الطرفين بالنسبة للزمن نجد ان
$\120dpi \\ \frac{\mathrm{d^2} x'(x,t)}{\mathrm{d} t^2}=\frac{\mathrm{d^2} x}{\mathrm{d} t^2}-g\\$
و بتعويض المعادلة الاولى نحصل على
$\120dpi \\ \frac{\mathrm{d^2} x'(x,t)}{\mathrm{d} t^2}=0\\$
وهكذا فان التسارع في مناط السقوط الحر يساوي صفراً
$\120dpi \\ g'=\frac{\mathrm{d^2} x'(x,t)}{\mathrm{d} t^2}=0\\ W'=mg'=0$

وهكذا طالما ان الجسيم داخل مناط السقوط الحر لا يشعر بوزنه مما يعني عدم وجود تثاقل جذبي داخل مناط السقوط الحر 0=’g فان النسبية الخاصة تنطبق داخل مناط السقوط الحر

حركة مناط السقوط الحر في الزمكان :
اما الجسم الجاذب (الارض مثلاً) فانه يتسبب فى انحناء الزمكان (طبعاً الانحناء هو انحناء سطح رباعي الابعاد) و هذا الانحناء يجعل هندسة الزمكان هندسة ريمانية و بالتالي فان مناط السقوط الحر سوف يتحرك (ككل) خلال خط جيوديسي (الخط المستقيم في الهندسة المنحنية) محققاً قوانين النسبية العامة

تحليل الالتباس:
داخل مناط السقوط الحر توجد نسبية خاصة و الفضاء مستوي و الاجسام تتحرك في خط مستقيم مالم توثر عليها قوى خارجية
اما حركة مناط الحر في الزمكان فهي حركة خلال اقصر مسار بين نقطتين في هندسة منحنية بواسطة الجسم الجاذب ( مصدر قوى التثاقل) واقصر خط في الهندسة المنحنية يُسمى بالجيوديسك وهو يمثل مسار الشعاع الضوئي (عدم وجود الوزن يرجع الى ان كتلة سكون الفوتون تساوي صفراً) و هكذا فان حركة مناط السقوط الحر في الزمكان تحقق قوانين النسبية العامة

البرهان :
بالنسبة لمصدر تثاقلي متماثل كروياً فان مربع طول الفترة في الزمكان المنحني يعطى "من النسبية العامة" بـ
$\120dpi ds^2=-\left(1-\frac{2GM}{rc^2}\right)dt^2+\left(1-\frac{2GM}{rc^2}\right)^{-1}dr^2+r^2d\theta^2+r^2\sin^2\theta d\phi^2$
بافتراض اجراء الدراسة عند خط الاستواء $\120dpi \theta=\pi/2$ فان مربع طول الفترة سوف يصبح
$\120dpi ds^2=-\left(1-\frac{2GM}{rc^2}\right)dt^2+\left(1-\frac{2GM}{rc^2}\right)^{-1}dr^2+r^2d\phi^2$
و لذلك فان دالة لاجرانج تعطى بـ
$\120dpi \mathcal{L}=-\left(1-\frac{2GM}{rc^2}\right)\dot{t}^2+\left(1-\frac{2GM}{rc^2}\right)^{-1}\dot{r}^2+r^2\dot{\phi}^2$
حيث النقطة اعلى الحرف تمثل التفاضل بالنسبة لزمن مناط السكون او بالاحرى يمكن اختيار اي معلمة parameter على طول الخط العالمي
بتطبيق معادلة نيزر Neother نستطيع مباشرة حساب الكمية المحفوظة وهي :
الطاقة E وكمية الحركة الزاوية L
$\120dpi \\E=\left(1-\frac{2GM}{rc^2}\right)\dot{t}\\\\ L=r^2\dot{\phi}$
باعتبار سرعه الضوء c تساوي الواحد والتعويض في دالة لاجرانج نجد ان
$\120dpi \frac{E^2+\mathcal{L}}{2}=\frac{\dot{r}^2}{2}+\mathcal{L}\frac{GM}{r}+\frac{L^2}{2r^2}-\frac{GML^2}{r^3}$
ومن هنا نلاحظ ان الحد الاول فى الطرف الايمن يمثل طاقة الحركة لجسيم اختباري كتلته تساوي الوحدة و بقية الحدود في الطرف الايمن تمثل طاقة الجهد التقالي الفعالة اي ان
$\120dpi \mathcal{E}=T+V_{\rm eff}$
حيث ان دالة الجهد التثاقلي الفعالة تعطى بـ
$\120dpi V_{\rm eff} =-\frac{GM}{r}+\frac{L^2}{2r^2}-\frac{GML^2}{r^3}$
حيث قمنا بتعويض دالة لاجرانج تساوي سالب مربع تفاضل طول الفترة بالنسبة لزمن مناط السكون اي =-1
الحدين الاول والثاني هما نفس الحدود التي نحصل عليها دائماً في نظرية نيوتن للجذب العام اما الحد الاخير فهو حد يظهر فقط في النسبية العامة
الان بتفاضل دالة الجهد بالنسبة للنصف القطر نحصل على القوة الموثرة على جسيم اختباري فى مجال الكتلة M
بالنسبة لجسيم يسقط سقوطاً حراً من دون ان يغير الزاوية فاي (كمية حركته الزاوية تساوي صفراً ) اي سقوط شعاعي (شاقولي) في اتجاه مركز الجسم الجذب فان
$\120dpi V_{\rm eff} =-\frac{GM}{r}$
فاننا نحصل على نفس النتيجة الكلاسيكية النيوتونية
$\120dpi \ddot{r}=-\frac{\mathrm{d} V_{\rm eff}}{\mathrm{d} r}=-\frac{GM}{r^2}=g$
و باختصار يمكننا القول ان الزمكان حول الكتلة M يكون منحنياً و مناط السقوط الحر يتحرك على طول منحنى جيوديسي في الفضاء الرباعي الابعاد ولكن اذا كان مناط السقوط الحر يتحرك من دون ان تكون له كمية حركة زاوية الزاوية (فاي ثابت لاتغيير بمرور مناط السكون) فان هذا المناط سوف يتحرك في اتجاه الخط الشعاعي نحو مركز الكتلة الجاذبة

اذن الانحناء يحدث في اربعة ابعاد زمكانية و الخط الجيوديسي هو منحنى يعتمد على كل من نصف القطر والزاوية فاي و ثيتا
واذا افترضنا ان السقوط على مستوى خط الاستواء فان مسار الجسيم الساقط يكون عبارة عن منحنى يعتمد على نصف القطر و الزاوية فاي
اما اذا افترضنا ايضاً ان كمية الحركة الزاوية للجسيم الساقط تساوي الصفر فان مسار الجسيم الساقط يكون عبارة عن خط مستقيم (سقوط شعاعي تجاه مركز الكتلة الجاذبة) اي جيودسك شعاعي
اذن الجملة التي طرحتها في السؤلك هي صحيحة وفقاً للشروط (الافتراضات) السابقة و لكنها لا تمثل الحالة العامة و الدليل هو انه اذا مر شعاع ضوئي بالقرب من حافة الكتلة M (توجد كمية حركة زاوية ) فان مسار الشعاع الضوئي سوف ينحرف عن مساره الاصلي مما يعني ان الزمكان بالقرب من الكتلة يكون منحنياً (يمكنك ان تبرهن ذلك من المعادلات السابقة بافتراض ان مربع طول الفترة للفوتون يساوي الصفر و هكذا فان دالة لاجرانج ايضاً تساوي الصفر)

هذا والله تعالى اعلم

اتمنى ان يساهم هذه المحاولة في الاجابة على سؤالك و ازالة الالتباس

و شكراً لك اخي قسورة على هذا السؤال الجميل
و بارك الله فيك وجزاك خيراً وزادك علما فوق علم

مرحبا استساذي العزيز الصادق

سؤال

اقتباس

(( اذن الجملة التي طرحتها في السؤلك هي صحيحة وفقاً للشروط (الافتراضات) السابقة و لكنها لا تمثل الحالة العامة و الدليل هو انه اذا مر شعاع ضوئي بالقرب من حافة الكتلة M (توجد كمية حركة زاوية ) فان مسار الشعاع الضوئي سوف ينحرف عن مساره الاصلي مما يعني ان الزمكان بالقرب من الكتلة يكون منحنياً ))

استاذي العزيز لو افترضنا جدلا بان الكتلة تحولت الى ثقب اسود ,,
هل تستطيع ان تتخيل شكل افق الحدث حول هذا الثقب في كون رباعي الابعاد وكيف ينجذب الضوء ويدور حول هذا الافق في الابعاد التي نعيش فيها ؟

ما اعني من هذا السؤال بان انحناء الزمكان المقصود لا يفسر على انه انحناء كأي انحناء الذي نعرفه او انحناء المألوف ,, لان تفسيره لا ينطبق مع كون ثلاثي الابعاد ولا استطيع تخيله
والله أعلم

تحياتي لك

**الصادق** · 06-11-2010 12:28 AM

إقتباس:
المشاركة الأصلية بواسطة رجب مصطفى

السلام عليكم ورحمة الله وبركاته

هذا هو الصادق الذي أعرفه ... وهذا ما كان متوقع منه

زادك الله علماً وإيماناً أخي العزيز ...

وصلِّ اللهم على المصطفى "محمد بن عبد الله" وعلى آله الأطهار وصحبه الأخيار رضي الله عنهم أجمعين ...

اخي العزيز الرائع رجب
لك كل الشكر و التقدير على كلماتك الطيبات، و بارك الله فيك وجزاك كل خير
و زدك علما و ايمانا

**الصادق** · 06-11-2010 12:35 AM

إقتباس:

المشاركة الأصلية بواسطة محمد عريف

شرح ممتاز ووافي استاذي الصادق

بارك الله فيك وزادك علماً

مع وافر احترامي وتقديري

اخي العزيز محمد عريف
الف شكر لك اخي على مرورك الجميل وكلماتك الطيبات
بارك الله فيك وجزاك كل خير و زادك علماً وحكمة

**الصادق** · 06-11-2010 12:56 AM

إقتباس:
المشاركة الأصلية بواسطة مبتدئ 1

مرحبا استاذي العزيز الصادق

سؤال

اقتباس

(( اذن الجملة التي طرحتها في السؤلك هي صحيحة وفقاً للشروط (الافتراضات) السابقة و لكنها لا تمثل الحالة العامة و الدليل هو انه اذا مر شعاع ضوئي بالقرب من حافة الكتلة M (توجد كمية حركة زاوية ) فان مسار الشعاع الضوئي سوف ينحرف عن مساره الاصلي مما يعني ان الزمكان بالقرب من الكتلة يكون منحنياً ))

استاذي العزيز لو افترضنا جدلا بان الكتلة تحولت الى ثقب اسود ,,
هل تستطيع ان تتخيل شكل افق الحدث حول هذا الثقب في كون رباعي الابعاد وكيف ينجذب الضوء ويدور حول هذا الافق في الابعاد التي نعيش فيها ؟

ما اعني من هذا السؤال بان انحناء الزمكان المقصود لا يفسر على انه انحناء كأي انحناء الذي نعرفه او انحناء المألوف ,, لان تفسيره لا ينطبق مع كون ثلاثي الابعاد ولا استطيع تخيله
والله أعلم

تحياتي لك

اخي العزيز مبتدئ1
حياك الله تعالى

نعم اخي مبتدئ اتفق معك تماماً , الانحناء يحدث في متشعبة الزمكان رباعية الابعاد و بالطبع من المستحيل تخيل فضاء رباعي الابعاد ناهيك عن تخيل شكل الانحناء فيه ، و لكن مع ذلك نستطيع ادرك الانحناء و قياس مقداره عند مرور الضوء بالقرب من الكتلة كما حدث فى تجربة Eiddington عام 1919 التي دعمت صحة نظرية انشآين في النسبية العامة

تحياتي لك وتقديري

**murad abuamr** · 06-12-2010 10:46 AM

المشاركة الأصلية كتبت بواسطة الصادق

اخي العزيز قسورة
حياك الله تعالى
نعم اخي اتفق معك بان هذا الامر قد يقود الى اللتباس

و دعني اقول اولاً : في حالة السقوط الحر ينعدم وزن الجسم الساقط وبالتالي لا توجد قوة تثاقل في مناط السقوط الحر و الجسم الساقط يتحرك في خط جيوديسي (اقصر خط بين نقتطين في الفضاء المنحني-الريماني) في الزمكان
اذن من هنا نستقراء النقاط التالية:
الحركة داخل مناط السقوط الحر:
1-الجسم الساقط سقوطاً حراً لا يشعر بوزنه و بالتالي لا يشعر بقوة جذب تثاقلي بينه وبين مركز الجسم الجاذب
2-نسبة لعدم وجود قوة تثاقل فان مناط السقوط الحر هو مناط يُحقق محلياً locally قوانين النسبية الخاصة اي ان الهندسة فيه هي هندسة منكوفسكي المستوية و بالتالي اي جسم داخل مناط السقوط الحر اما ان يكون ساكناً عن الحركة او متحركاً بسرعة ثابتة في خط مستقيم (مالم تؤثر عليه قوة خارجية) في هندسة مناط السقوط الحر المستوية محلياً

البرهان:
الجسم الساقط سقوطاُ حراً يحقق معادلة الحركة التالية (قانونيوتن للحركة)

$\120dpi \frac{\mathrm{d^2} x}{\mathrm{d} t^2}=g \\$
و اذا ذهبنا الى مناط السقوط الحراي قمنا بتغير الاحداثيات من x الى ’x على النحو
$\120dpi x'(x,t)=x-\frac{1}{2}gt^2$
الان بتفاضل (المشتقة الثانية) الطرفين بالنسبة للزمن نجد ان
$\120dpi \\ \frac{\mathrm{d^2} x'(x,t)}{\mathrm{d} t^2}=\frac{\mathrm{d^2} x}{\mathrm{d} t^2}-g\\$
و بتعويض المعادلة الاولى نحصل على
$\120dpi \\ \frac{\mathrm{d^2} x'(x,t)}{\mathrm{d} t^2}=0\\$
وهكذا فان التسارع في مناط السقوط الحر يساوي صفراً
$\120dpi \\ g'=\frac{\mathrm{d^2} x'(x,t)}{\mathrm{d} t^2}=0\\ W'=mg'=0$

وهكذا طالما ان الجسيم داخل مناط السقوط الحر لا يشعر بوزنه مما يعني عدم وجود تثاقل جذبي داخل مناط السقوط الحر 0=’g فان النسبية الخاصة تنطبق داخل مناط السقوط الحر

حركة مناط السقوط الحر في الزمكان :
اما الجسم الجاذب (الارض مثلاً) فانه يتسبب فى انحناء الزمكان (طبعاً الانحناء هو انحناء سطح رباعي الابعاد) و هذا الانحناء يجعل هندسة الزمكان هندسة ريمانية و بالتالي فان مناط السقوط الحر سوف يتحرك (ككل) خلال خط جيوديسي (الخط المستقيم في الهندسة المنحنية) محققاً قوانين النسبية العامة

تحليل الالتباس:
داخل مناط السقوط الحر توجد نسبية خاصة و الفضاء مستوي و الاجسام تتحرك في خط مستقيم مالم توثر عليها قوى خارجية
اما حركة مناط الحر في الزمكان فهي حركة خلال اقصر مسار بين نقطتين في هندسة منحنية بواسطة الجسم الجاذب ( مصدر قوى التثاقل) واقصر خط في الهندسة المنحنية يُسمى بالجيوديسك وهو يمثل مسار الشعاع الضوئي (عدم وجود الوزن يرجع الى ان كتلة سكون الفوتون تساوي صفراً) و هكذا فان حركة مناط السقوط الحر في الزمكان تحقق قوانين النسبية العامة

البرهان :
بالنسبة لمصدر تثاقلي متماثل كروياً فان مربع طول الفترة في الزمكان المنحني يعطى "من النسبية العامة" بـ
$\120dpi ds^2=-\left(1-\frac{2GM}{rc^2}\right)dt^2+\left(1-\frac{2GM}{rc^2}\right)^{-1}dr^2+r^2d\theta^2+r^2\sin^2\theta d\phi^2$
بافتراض اجراء الدراسة عند خط الاستواء $\120dpi \theta=\pi/2$ فان مربع طول الفترة سوف يصبح
$\120dpi ds^2=-\left(1-\frac{2GM}{rc^2}\right)dt^2+\left(1-\frac{2GM}{rc^2}\right)^{-1}dr^2+r^2d\phi^2$
و لذلك فان دالة لاجرانج تعطى بـ
$\120dpi \mathcal{L}=-\left(1-\frac{2GM}{rc^2}\right)\dot{t}^2+\left(1-\frac{2GM}{rc^2}\right)^{-1}\dot{r}^2+r^2\dot{\phi}^2$
حيث النقطة اعلى الحرف تمثل التفاضل بالنسبة لزمن مناط السكون او بالاحرى يمكن اختيار اي معلمة parameter على طول الخط العالمي
بتطبيق معادلة نيزر Neother نستطيع مباشرة حساب الكمية المحفوظة وهي :
الطاقة E وكمية الحركة الزاوية L
$\120dpi \\E=\left(1-\frac{2GM}{rc^2}\right)\dot{t}\\\\ L=r^2\dot{\phi}$
باعتبار سرعه الضوء c تساوي الواحد والتعويض في دالة لاجرانج نجد ان
$\120dpi \frac{E^2+\mathcal{L}}{2}=\frac{\dot{r}^2}{2}+\mathcal{L}\frac{GM}{r}+\frac{L^2}{2r^2}-\frac{GML^2}{r^3}$
ومن هنا نلاحظ ان الحد الاول فى الطرف الايمن يمثل طاقة الحركة لجسيم اختباري كتلته تساوي الوحدة و بقية الحدود في الطرف الايمن تمثل طاقة الجهد التقالي الفعالة اي ان
$\120dpi \mathcal{E}=T+V_{\rm eff}$
حيث ان دالة الجهد التثاقلي الفعالة تعطى بـ
$\120dpi V_{\rm eff} =-\frac{GM}{r}+\frac{L^2}{2r^2}-\frac{GML^2}{r^3}$
حيث قمنا بتعويض دالة لاجرانج تساوي سالب مربع تفاضل طول الفترة بالنسبة لزمن مناط السكون اي =-1
الحدين الاول والثاني هما نفس الحدود التي نحصل عليها دائماً في نظرية نيوتن للجذب العام اما الحد الاخير فهو حد يظهر فقط في النسبية العامة
الان بتفاضل دالة الجهد بالنسبة للنصف القطر نحصل على القوة الموثرة على جسيم اختباري فى مجال الكتلة M
بالنسبة لجسيم يسقط سقوطاً حراً من دون ان يغير الزاوية فاي (كمية حركته الزاوية تساوي صفراً ) اي سقوط شعاعي (شاقولي) في اتجاه مركز الجسم الجذب فان
$\120dpi V_{\rm eff} =-\frac{GM}{r}$
فاننا نحصل على نفس النتيجة الكلاسيكية النيوتونية
$\120dpi \ddot{r}=-\frac{\mathrm{d} V_{\rm eff}}{\mathrm{d} r}=-\frac{GM}{r^2}=g$
و باختصار يمكننا القول ان الزمكان حول الكتلة M يكون منحنياً و مناط السقوط الحر يتحرك على طول منحنى جيوديسي في الفضاء الرباعي الابعاد ولكن اذا كان مناط السقوط الحر يتحرك من دون ان تكون له كمية حركة زاوية الزاوية (فاي ثابت لاتغيير بمرور مناط السكون) فان هذا المناط سوف يتحرك في اتجاه الخط الشعاعي نحو مركز الكتلة الجاذبة

اذن الانحناء يحدث في اربعة ابعاد زمكانية و الخط الجيوديسي هو منحنى يعتمد على كل من نصف القطر والزاوية فاي و ثيتا
واذا افترضنا ان السقوط على مستوى خط الاستواء فان مسار الجسيم الساقط يكون عبارة عن منحنى يعتمد على نصف القطر و الزاوية فاي
اما اذا افترضنا ايضاً ان كمية الحركة الزاوية للجسيم الساقط تساوي الصفر فان مسار الجسيم الساقط يكون عبارة عن خط مستقيم (سقوط شعاعي تجاه مركز الكتلة الجاذبة) اي جيودسك شعاعي
اذن الجملة التي طرحتها في السؤلك هي صحيحة وفقاً للشروط (الافتراضات) السابقة و لكنها لا تمثل الحالة العامة و الدليل هو انه اذا مر شعاع ضوئي بالقرب من حافة الكتلة M (توجد كمية حركة زاوية ) فان مسار الشعاع الضوئي سوف ينحرف عن مساره الاصلي مما يعني ان الزمكان بالقرب من الكتلة يكون منحنياً (يمكنك ان تبرهن ذلك من المعادلات السابقة بافتراض ان مربع طول الفترة للفوتون يساوي الصفر و هكذا فان دالة لاجرانج ايضاً تساوي الصفر)

هذا والله تعالى اعلم

اتمنى ان يساهم هذه المحاولة في الاجابة على سؤالك و ازالة الالتباس

و شكراً لك اخي قسورة على هذا السؤال الجميل
و بارك الله فيك وجزاك خيراً وزادك علما فوق علم

ما شاء الله ، ما شاء الله ، بارك الله عليك أخي الصادق ، وأسأل الله تعالى أن يحفظك وأن يتم نعمته عليك .

لو شاهدت هذه المشاركة تحت عنوان : من صاحب هذه المشاركة ؟ فلن يكون الجواب عندي سوى : الصادق .

الموضوع: غموض انحناء الزمكان

أدوات الموضوع

عرض

مشاركة: غموض انحناء الزمكان

مشاركة: غموض انحناء الزمكان

مشاركة: غموض انحناء الزمكان

مشاركة: غموض انحناء الزمكان

مشاركة: غموض انحناء الزمكان

مشاركة: غموض انحناء الزمكان

رد: مشاركة: غموض انحناء الزمكان

معلومات الموضوع

الأعضاء الذين يشاهدون هذا الموضوع

المواضيع المتشابهه

مصطلح الزمكان

غموض نرجو الايضاح

قصة الزمكان والنسبية Spacetime

الزمكان

مواقع النشر (المفضلة)

مواقع النشر (المفضلة)

ضوابط المشاركة