نظرية الإضطراب Perturbation Theory ... ج (2) !!!

**رجب مصطفى** · 05-04-2010 12:49 AM

بسم الله الرحمن الرحيم
والصلاة والسلام على رسول الله
"محمد بن عبدالله"
وعلى آله وصحبه أجمعين
السلام عليكم ورحمة الله وبركاته
إخواني زوار وأعضاء ومشرفي المنتدى الكرام
حياكم الله وبياكم وجعل الفردوس مثواي ومثواكم

نظرية الإضطراب Perturbation Theory ... ج (1) !!!

قبل الدخول ... صلِّ على حبيبك المصطفى (صلى الله عليه وسلم) وعلى آله وصحبه أجمعين

لعهدٍ قطعته على نفسي اليوم ... هذه في عُجالة ... التصحيح من الدرجة الثانية Second Order Correction في ...

نظرية الإضطراب Perturbation Theory

الغير معتمدة على الزمن Time-Independent ...

ملحوظة ... الشرح مأخوذ من كتاب Introductory Quantum Mechanics – Liboff ... ولكنه طبعاً ليس بهذا التفصيل الممل (الذي أعتبره من حقوق الملكية الخاصة بي !!!) ...

*** لإيجاد التصحيح من الدرجة الثانية للدالة الموجية والطاقة ( $\phi_{n},E_{n}$ )، ينبغي حل المعادلة التالية (والتي هي معامل $\lambda^{2}$ ):

$\left ( \hat{H}_{0}-E_{n}^{(0)} \right )\phi_{n}^{(2)}=\left ( E_{n}^{(1)} -\hat{{H}'}\right )\phi_{n}^{(1)}+E_{n}^{(2)}\phi_{n}^{(0)}$

بالفك والتوزيع واستخدام صورة الـ ket vectors نجد أن:

$\hat{H}_{0}\left |\phi_{n}^{(2)}\right \rangle-E_{n}^{(0)}\left |\phi_{n}^{(2)}\right \rangle=E_{n}^{(1)} \left |\phi_{n}^{(1)}\right \rangle-\hat{{H}'}\left |\phi_{n}^{(1)}\right \rangle+E_{n}^{(2)}\left |\phi_{n}^{(0)}\right \rangle$

وحيث أن الهاملتونيان $\hat{H}_{0}$ يعمل فقط على الدالة $\phi_{n}^{(2)}$ وبالتالي يمكن أن ننشر أو نوزع expand هذه الدالة في صورة الدوال المميزة للهاميلتونيان السابق، أي أن:

$\left |\phi_{n}^{(2)}\right \rangle = \sum_{i}D_{ni}\left |\phi_{i}^{(0)}\right \rangle$

بالتعويض:

$\sum_{i}D_{ni}{H}_{0}\left |\phi_{i}^{(0)}\right \rangle-\sum_{i}D_{ni}E_{n}^{(0)}\left |\phi_{i}^{(0)}\right \rangle=E_{n}^{(1)} \left |\phi_{n}^{(1)}\right \rangle-\hat{{H}'}\left |\phi_{n}^{(1)}\right \rangle+E_{n}^{(2)}\left |\phi_{n}^{(0)}\right \rangle$

بضرب طرفي المعادلة السابقة بالـ bra vector للدالة المميزة ولكن في حالة أخرى، أي:

$\left \langle \phi_{j}^{(0)}\right |$

نجد أن:

$\sum_{i}D_{ni}\left \langle \phi_{j}^{(0)}\right |{H}_{0}\left |\phi_{i}^{(0)}\right \rangle-\sum_{i}D_{ni}\left \langle \phi_{j}^{(0)}\right |E_{n}^{(0)}\left |\phi_{i}^{(0)}\right \rangle = E_{n}^{(1)}\left \langle \phi_{j}^{(0)}\right \left |\phi_{n}^{(1)}\right \rangle - \left \langle \phi_{j}^{(0)}\right | \left \hat{{H}'}\left |\phi_{n}^{(1)}\right \rangle + E_{n}^{(2)}\left \langle \phi_{j}^{(0)}\right \left | \left \phi_{n}^{(0)} \right \rangle \right$

وومنها نحصل على:

$\sum_{i}D_{ni}E_{i}^{(0)}\left \langle \phi_{j}^{(0)}\right \left |\phi_{i}^{(0)}\right \rangle-\sum_{i}D_{ni}E_{n}^{(0)}\left \langle \phi_{j}^{(0)}\right \left |\phi_{i}^{(0)}\right \rangle=E_{n}^{(1)} \left \langle \phi_{j}^{(0)}\left |\phi_{n}^{(1)}\right \rangle-\left \langle \phi_{j}^{(0)}\left |\hat{{H}'}\left |\phi_{n}^{(1)}\right \rangle+E_{n}^{(2)}\left \left \langle \phi_{j}^{(0)}\left |\phi_{n}^{(0)}\right\right \rangle$

حيث:

$\left \langle \phi_{j}^{(0)}\right |{H}_{0}\left |\phi_{i}^{(0)}\right \rangle=E_{i}^{(0)}\left \langle \phi_{j}^{(0)}\right \left |\phi_{i}^{(0)}\right \rangle$

والآن بفرض أن $i=j$ ، فإن:

$\sum_{j}D_{nj}E_{j}^{(0)}\left \langle \phi_{j}^{(0)}\right \left |\phi_{j}^{(0)}\right \rangle-\sum_{j}D_{nj}E_{n}^{(0)}\left \langle \phi_{j}^{(0)}\right \left |\phi_{j}^{(0)}\right \rangle=E_{n}^{(1)} \left \langle \phi_{j}^{(0)}\left |\phi_{n}^{(1)}\right \rangle-\left \langle \phi_{j}^{(0)}\left |\hat{{H}'}\left |\phi_{n}^{(1)}\right \rangle+E_{n}^{(2)}\left \left \langle \phi_{j}^{(0)}\left |\phi_{n}^{(0)}\right\right \rangle$

ومنها نحصل على:

${\color{blue} \sum_{j}D_{nj}\left (E_{j}^{(0)}-E_{n}^{(0)} \right )=E_{n}^{(1)} \left \langle \phi_{j}^{(0)}| \phi_{n}^{(1)}\right \rangle-\left \langle \phi_{j}^{(0)}|\hat{{H}'}|\phi_{n}^{(1)}\right \rangle+E_{n}^{(2)}\delta _{jn}\right \rangle}$

وهذه هي المعادلة المحورية للقادم ...