نظرية الإضطراب Perturbation Theory ... ج (2) !!!

**رجب مصطفى** · 05-04-2010 12:49 AM

بسم الله الرحمن الرحيم
والصلاة والسلام على رسول الله
"محمد بن عبدالله"
وعلى آله وصحبه أجمعين
السلام عليكم ورحمة الله وبركاته
إخواني زوار وأعضاء ومشرفي المنتدى الكرام
حياكم الله وبياكم وجعل الفردوس مثواي ومثواكم

نظرية الإضطراب Perturbation Theory ... ج (1) !!!

قبل الدخول ... صلِّ على حبيبك المصطفى (صلى الله عليه وسلم) وعلى آله وصحبه أجمعين

لعهدٍ قطعته على نفسي اليوم ... هذه في عُجالة ... التصحيح من الدرجة الثانية Second Order Correction في ...

نظرية الإضطراب Perturbation Theory

الغير معتمدة على الزمن Time-Independent ...

ملحوظة ... الشرح مأخوذ من كتاب Introductory Quantum Mechanics – Liboff ... ولكنه طبعاً ليس بهذا التفصيل الممل (الذي أعتبره من حقوق الملكية الخاصة بي !!!) ...

*** لإيجاد التصحيح من الدرجة الثانية للدالة الموجية والطاقة ( $\phi_{n},E_{n}$ )، ينبغي حل المعادلة التالية (والتي هي معامل $\lambda^{2}$ ):

$\left ( \hat{H}_{0}-E_{n}^{(0)} \right )\phi_{n}^{(2)}=\left ( E_{n}^{(1)} -\hat{{H}'}\right )\phi_{n}^{(1)}+E_{n}^{(2)}\phi_{n}^{(0)}$

بالفك والتوزيع واستخدام صورة الـ ket vectors نجد أن:

$\hat{H}_{0}\left |\phi_{n}^{(2)}\right \rangle-E_{n}^{(0)}\left |\phi_{n}^{(2)}\right \rangle=E_{n}^{(1)} \left |\phi_{n}^{(1)}\right \rangle-\hat{{H}'}\left |\phi_{n}^{(1)}\right \rangle+E_{n}^{(2)}\left |\phi_{n}^{(0)}\right \rangle$

وحيث أن الهاملتونيان $\hat{H}_{0}$ يعمل فقط على الدالة $\phi_{n}^{(2)}$ وبالتالي يمكن أن ننشر أو نوزع expand هذه الدالة في صورة الدوال المميزة للهاميلتونيان السابق، أي أن:

$\left |\phi_{n}^{(2)}\right \rangle = \sum_{i}D_{ni}\left |\phi_{i}^{(0)}\right \rangle$

بالتعويض:

$\sum_{i}D_{ni}{H}_{0}\left |\phi_{i}^{(0)}\right \rangle-\sum_{i}D_{ni}E_{n}^{(0)}\left |\phi_{i}^{(0)}\right \rangle=E_{n}^{(1)} \left |\phi_{n}^{(1)}\right \rangle-\hat{{H}'}\left |\phi_{n}^{(1)}\right \rangle+E_{n}^{(2)}\left |\phi_{n}^{(0)}\right \rangle$

بضرب طرفي المعادلة السابقة بالـ bra vector للدالة المميزة ولكن في حالة أخرى، أي:

$\left \langle \phi_{j}^{(0)}\right |$

نجد أن:

$\sum_{i}D_{ni}\left \langle \phi_{j}^{(0)}\right |{H}_{0}\left |\phi_{i}^{(0)}\right \rangle-\sum_{i}D_{ni}\left \langle \phi_{j}^{(0)}\right |E_{n}^{(0)}\left |\phi_{i}^{(0)}\right \rangle = E_{n}^{(1)}\left \langle \phi_{j}^{(0)}\right \left |\phi_{n}^{(1)}\right \rangle - \left \langle \phi_{j}^{(0)}\right | \left \hat{{H}'}\left |\phi_{n}^{(1)}\right \rangle + E_{n}^{(2)}\left \langle \phi_{j}^{(0)}\right \left | \left \phi_{n}^{(0)} \right \rangle \right$

وومنها نحصل على:

$\sum_{i}D_{ni}E_{i}^{(0)}\left \langle \phi_{j}^{(0)}\right \left |\phi_{i}^{(0)}\right \rangle-\sum_{i}D_{ni}E_{n}^{(0)}\left \langle \phi_{j}^{(0)}\right \left |\phi_{i}^{(0)}\right \rangle=E_{n}^{(1)} \left \langle \phi_{j}^{(0)}\left |\phi_{n}^{(1)}\right \rangle-\left \langle \phi_{j}^{(0)}\left |\hat{{H}'}\left |\phi_{n}^{(1)}\right \rangle+E_{n}^{(2)}\left \left \langle \phi_{j}^{(0)}\left |\phi_{n}^{(0)}\right\right \rangle$

حيث:

$\left \langle \phi_{j}^{(0)}\right |{H}_{0}\left |\phi_{i}^{(0)}\right \rangle=E_{i}^{(0)}\left \langle \phi_{j}^{(0)}\right \left |\phi_{i}^{(0)}\right \rangle$

والآن بفرض أن $i=j$ ، فإن:

$\sum_{j}D_{nj}E_{j}^{(0)}\left \langle \phi_{j}^{(0)}\right \left |\phi_{j}^{(0)}\right \rangle-\sum_{j}D_{nj}E_{n}^{(0)}\left \langle \phi_{j}^{(0)}\right \left |\phi_{j}^{(0)}\right \rangle=E_{n}^{(1)} \left \langle \phi_{j}^{(0)}\left |\phi_{n}^{(1)}\right \rangle-\left \langle \phi_{j}^{(0)}\left |\hat{{H}'}\left |\phi_{n}^{(1)}\right \rangle+E_{n}^{(2)}\left \left \langle \phi_{j}^{(0)}\left |\phi_{n}^{(0)}\right\right \rangle$

ومنها نحصل على:

${\color{blue} \sum_{j}D_{nj}\left (E_{j}^{(0)}-E_{n}^{(0)} \right )=E_{n}^{(1)} \left \langle \phi_{j}^{(0)}| \phi_{n}^{(1)}\right \rangle-\left \langle \phi_{j}^{(0)}|\hat{{H}'}|\phi_{n}^{(1)}\right \rangle+E_{n}^{(2)}\delta _{jn}\right \rangle}$

وهذه هي المعادلة المحورية للقادم ...

**رجب مصطفى** · 05-04-2010 12:53 AM

*** تابع ...

عند $j=n$ ، فإن:

$E_{n}^{(2)}=\left \langle \phi_{n}^{(0)}|\hat{{H}'}|\phi_{n}^{(1)}\right \rangle\right \rangle$

حيث:

$\left \langle \phi_{n}^{(0)}| \phi_{n}^{(1)}\right \rangle=0$

لكن:

$\phi_{n}^{(1)}=\sum_{i\neq n}\frac{\hat{{H}'}_{in}}{E_{n}^{(0)}-E_{i}^{(0)}}\phi_{i}^{(0)}$

إذاً ...

$E_{n}^{(2)}=\left \langle \phi_{n}^{(0)}|\hat{{H}'}|\phi_{n}^{(1)}\right \rangle\right \rangle= \sum_{i\neq n}\left \langle \phi_{n}^{(0)}|\frac{\hat{{H}'} \hat{{H}'}_{in}}{E_{n}^{(0)}-E_{i}^{(0)}}|\phi_{i}^{(0)}\right \rangle\right \rangle$

ولكن

$\hat{{H}'}_{ni}=\left \langle \phi_{n}^{(0)}|\hat{{H}'}|\phi_{i}^{(0)}\right \rangle\right \rangle$

إذاً ...

$E_{n}^{(2)}= \sum_{i\neq n}\frac{\hat{{H}'}_{ni} \hat{{H}'}_{in}}{E_{n}^{(0)}-E_{i}^{(0)}}$

وفي النهاية نجد أن التصحيح الثاني للطاقة هو ...

${\color{red} E_{n}^{(2)}=\sum_{i\neq n}\frac{\left |\hat{{H}'}_{in} \right |^{2}}{E_{n}^{(0)}-E_{i}^{(0)}}}$

وعليها تكون المعادلة الكلية للطاقة هي

${\color{blue} E_{n}=E_{n}^{(0)}+\hat{{H}'}_{nn}+\sum_{i\neq n}\frac{\left |\hat{{H}'}_{in} \right |^{2}}{E_{n}^{(0)}-E_{i}^{(0)}}}$

**رجب مصطفى** · 05-04-2010 12:58 AM

*** والآن ... لإيجاد التصحيح من الدرجة الثانية للدالة الموجية، نعود للمعادلة المحورية ذات اللون الأزرق (فقط لتميزها)، وبفرض الحالة التي فيها $j \neq n$ ، فإن:

$E_{n}^{(1)} \left \langle \phi_{j}^{(0)}| \phi_{n}^{(1)}\right \rangle-\left \langle \phi_{j}^{(0)}|\hat{{H}'}|\phi_{n}^{(1)}\right \rangle=\sum_{j}D_{nj}\left (E_{j}^{(0)}-E_{n}^{(0)} \right )$

وبالضرب في – 1 ... (أي ترتيب فقط) ...

$\left \langle \phi_{j}^{(0)}|\hat{{H}'}|\phi_{n}^{(1)}\right \rangle-E_{n}^{(1)} \left \langle \phi_{j}^{(0)}| \phi_{n}^{(1)}\right \rangle=\sum_{j}D_{nj}\left (E_{n}^{(0)}-E_{j}^{(0)} \right )$

ولكن من الممكن أن نكتب ...

$\phi_{n}^{(1)}=\sum_{k\neq n}\frac{\hat{{H}'}_{kn}}{E_{n}^{(0)}-E_{k}^{(0)}}\phi_{k}^{(0)}$

وأيضاً ...

$E_{n}^{(1)}=\hat{{H}'}_{nn}$

بالتعويض ...

$\left \langle \phi_{j}^{(0)}|\sum_{k\neq n}\frac{\hat{{H}'}\hat{{H}'}_{kn}}{E_{n}^{(0)}-E_{k}^{(0)}}|\phi_{k}^{(0)}\right \rangle-\hat{{H}'}_{nn} \left \langle \phi_{j}^{(0)}|\sum_{k\neq n}\frac{\hat{{H}'}_{kn}}{E_{n}^{(0)}-E_{k}^{(0)}}|\phi_{k}^{(0)}\right\rangle=\sum_{j}D_{nj}\left (E_{n}^{(0)}-E_{j}^{(0)} \right )$

وكما فعلنا سابقاً ... نجد أن:

$\hat{{H}'}_{jk}=\left \langle \phi_{j}^{(0)}|\hat{{H}'}|\phi_{k}^{(0)}\right \rangle$

وعليه فإن:

$\hat{{H}'}_{kn}=\left \langle \phi_{k}^{(0)}|\hat{{H}'}|\phi_{n}^{(0)}\right \rangle$

إذاً ...

$\left \langle \phi_{j}^{(0)}|\hat{{H}'}_{kn}|\phi_{k}^{(0)}\right \rangle=\left \langle \phi_{j}^{(0)}|\left \langle {\color{red} \phi_{k}^{(0)}}|\hat{{H}'}|\phi_{n}^{(0)}\right \rangle |{\color{red} \, \phi_{k}^{(0)}}\right \rangle=\left \langle \phi_{j}^{(0)}|\left \hat{{H}'}|\phi_{n}^{(0)}\right \rangle={\color{blue} \hat{{H}'}_{jn}}$

**رجب مصطفى** · 05-04-2010 01:03 AM

ومنها يمكن أن نضع

$k=j$

في هذا التعبير "فقط" !!!...

والآن ...

$\sum_{k\neq n}\frac{\hat{{H}'}_{jk}\hat{{H}'}_{kn}}{E_{n}^{(0)}-E_{k}^{(0)}}-\sum_{j\neq n}\frac{\hat{{H}'}_{nn}\hat{{H}'}_{jn}}{E_{n}^{(0)}-E_{j}^{(0)}}=\sum_{j\neq n}D_{nj}\left (E_{n}^{(0)}-E_{j}^{(0)} \right )$

أو:

$D_{nj}=\sum_{j\neq n}\frac{1}{(E_{n}^{(0)}-E_{j}^{(0)})}\sum_{k\neq n}\frac{\hat{{H}'}_{jk}\hat{{H}'}_{kn}}{E_{n}^{(0)}-E_{k}^{(0)}}-\sum_{j\neq n}\frac{\hat{{H}'}_{nn}\hat{{H}'}_{jn}}{\left (E_{n}^{(0)}-E_{j}^{(0)} \right )^{2}}$

وكما فرضنا في البداية أن:

$\phi_{n}^{(2)}=\sum_{i}D_{ni}\phi_{i}^{(0)}$

لذا بوضع $j=i$ ، نجد أن:

$\sum_{i}D_{ni}=\sum_{i\neq n}\frac{1}{(E_{n}^{(0)}-E_{i}^{(0)})}\sum_{k\neq n}\frac{\hat{{H}'}_{jk}\hat{{H}'}_{kn}}{E_{n}^{(0)}-E_{k}^{(0)}}-\sum_{i\neq n}\frac{\hat{{H}'}_{nn}\hat{{H}'}_{in}}{\left (E_{n}^{(0)}-E_{i}^{(0)} \right )^{2}}$

وفي النهاية نجد أن التصحيح الثاني للدالة الموجية هو ...

$\phi_{n}^{(2)}=\left (\sum_{i\neq n}\frac{1}{(E_{n}^{(0)}-E_{i}^{(0)})}\sum_{k\neq n}\frac{\hat{{H}'}_{jk}\hat{{H}'}_{kn}}{E_{n}^{(0)}-E_{k}^{(0)}}-\sum_{i\neq n}\frac{\hat{{H}'}_{nn}\hat{{H}'}_{in}}{\left (E_{n}^{(0)}-E_{i}^{(0)} \right )^{2}} \right )\phi_{i}^{(0)}$

وعليها تكون المعادلة الكلية للدالة الموجية هي

${\color{blue} \phi_{n}=\phi_{n}^{(0)}+\sum_{i\neq n}\left (\frac{\hat{{H}'}_{in}}{E_{n}^{(0)}-E_{i}^{(0)}}-\frac{\hat{{H}'}_{nn}\hat{{H}'}_{in}}{\left (E_{n}^{(0)}-E_{i}^{(0)} \right )^{2}}+\left \sum_{k\neq n}\frac{\hat{{H}'}_{jk}\hat{{H}'}_{kn}}{\left ( E_{n}^{(0)}-E_{i}^{(0)} \right )\left (E_{n}^{(0)}-E_{k}^{(0)} \right )} \right \right )\phi_{i}^{(0)}}$

*** *** ***

وآخر دعوانا أن الحمد لله رب العالمين
وصلي اللهم وبارك على نبي الرحمة سيد ولد أدم أبى القاسم "محمد بن عبد الله" وعلى آله الطيبين الطاهرين وعلى أصحابه الغر الميامين وسلم تسليماً كثيراً
لا تنسونا من صالح دعائكم

**شعاع الفيزيا** · 05-04-2010 01:06 AM

السلام عليكم الف شكر وان شاء الله يستفيدوا منه الاعضاء وجعله في ميزان جسناتك يوم الحساب وصلي عل حبيبك محمد ابن عبدالله

**deadheart** · 05-04-2010 01:19 AM

ايه الابداع ده كلو هوا انتا كنت مخبي كل ده فين ممكن اعرف

جزاك الله خيراً استاذي سامحنا على التقصير

اثابكم الله به الجنة وحرم وجهكم على النار يوم القيامة

**غـــرور** · 05-04-2010 02:01 PM

جزاك الله خـــــــير بوركت

الموضوع: نظرية الإضطراب Perturbation Theory ... ج (2) !!!

أدوات الموضوع

عرض

نظرية الإضطراب Perturbation Theory ... ج (2) !!!

مشاركة: نظرية الإضطراب Perturbation Theory ...

مشاركة: نظرية الإضطراب Perturbation Theory ...

مشاركة: نظرية الإضطراب Perturbation Theory ...

مشاركة: نظرية الإضطراب Perturbation Theory ...

مشاركة: نظرية الإضطراب Perturbation Theory ...

مشاركة: نظرية الإضطراب Perturbation Theory ...

معلومات الموضوع

الأعضاء الذين يشاهدون هذا الموضوع

المواضيع المتشابهه

سؤال حول نظرية ام او M Theory

نظرية كل شيء ( Theory of everything‏)

نظرية الإضطراب Perturbation Theory ... ج (1) !!!

String Theory نظرية الوتر

مواقع النشر (المفضلة)

مواقع النشر (المفضلة)

ضوابط المشاركة