المؤثرات Operators ... نبذة سريعة !!!

**رجب مصطفى** · 04-08-2010 08:18 PM

بسم الله الرحمن الرحيم
والصلاة والسلام على رسول الله
"محمد بن عبدالله"
وعلى آله وصحبه أجمعين
السلام عليكم ورحمة الله وبركاته
تحية طيبة إليكم

هذه نبذة سريعة عن ...

المؤثرات Operators

المؤثر هو رمز رياضي يدل على عملية رياضية معينة يجب إجرائها على كل ما يلي هذا المؤثر. فمثلاً في التعبير $\sqrt{2}$ فإن علامة الجذر $\sqrt{ }$ هي المؤثر الرياضي الذي يدل على عملية أخذ الجذر التربيعي للرقم 2.

وبالمثل في التعبير الرياضي $d(x^{2}+5x+1)/dx$ فإن $d/dx$ هو المؤثر الرياضي الذي يدل على عملية التفاضل بالنسبة للمتغير x على كل ما يليه وهو المقدار $(x^{2}+5x+1)$ .
وعليه فإن المؤثر الرياضي ليست له قيمة معينة في حد ذاته، ويتم تمييزه بوضع علامة ^ (قبعة) فوق الرمز الحرف الذي يدل عليه.

ويجب الحذر عند استخدام المؤثرات الرياضية حيث أنها تتبع قواعد خاصة. فإذا كان

$\hat{P}=\left (\frac{\partial }{\partial x} \right )_{yz}$
$\hat{Q}=\left (\frac{\partial }{\partial y} \right )_{xz}$

فإن:

$\hat{P}\hat{Q}=\left (\frac{\partial }{\partial x} \left (\frac{\partial }{\partial y} \right )_{xz} \right )\right )_{yz}=\frac{\partial^2 }{\partial x \partial y}$

إن عملية تبديل المؤثرات الرياضية في غاية الأهمية إذ لا تتمتع بالضرورة بخاصية التبديل Commutation مع بعضها البعض بعكس الأرقام مثلاً، وبالنسبة للمؤثران السابقان فإن:

$\hat{P}\hat{Q}= \hat{Q}\hat{P}$

حيث:

$\frac{\partial^2 }{\partial x \partial y}= \frac{\partial^2 }{\partial y \partial x}$

وهذه حالة خاصة وليست عامة.
والكمية:

$\hat P \hat Q - \hat Q \hat P$

تسمى "المتبادل" Commutator للمؤثرات $\hat P , \hat Q$ ويرمز لها بالرمز

$\left [\hat P , \hat Q \right ]$

حيث:

$\left [\hat P , \hat Q \right ]= \hat P \hat Q - \hat Q \hat P$

وإذا كان $\hat P , \hat Q$ يتبادلان مع بعضهما البعض فإن

$\left [\hat P , \hat Q \right ]=0$

ومن الممكن أن تكون المؤثرات الرياضية حقيقة Real أو مركبة Complex (تحتوي على العدد التخيلي i).

ويسمى المؤثر $\hat P$ خطياً linear إذا حقق العلاقة التالية:

$\hat P (f+g)= \hat P f + \hat P g$

أو:

$\hat P af = a \hat P f$

حيث a مقدار ثابت.

وعليه فإن المؤثرات التفاضلية والتكامل مؤثرات خطية، أما التربيع والجذر التربيعي، وعموماً، الأسس غير خطية.

كما أنه من الممكن أن تكون المؤثرات متجهة، ومثال ذلك المؤثر Del، حيث:

$\vec{\nabla} = \frac{\partial }{\partial x}\vec{i}+\frac{\partial }{\partial y}\vec{j}+\frac{\partial }{\partial z}\vec{k}$

والله أعلى وأعلم ...

دمتم في رعاية الله وحفظه
لا تنسونا من صالح دعائكم
وصلي اللهم وبارك على نبي الرحمة سيد ولد أدم أبى القاسم "محمد بن عبد الله" وعلى آله الطيبين الطاهرين وعلى أصحابة الغر الميامين وسلم تسليماً كثيراً