"الحقيقة الكمية هي حقيقة من بدع الراصد"

**تغريد** · 11-09-2009 11:52 PM

المشاركة الأصلية كتبت بواسطة الصادق

آمين ...
واياك وجميع المسلمين ..

آميــن
شكر الله لك أخي الكريم الصادق و بارك خطاك

أرجو ألا تنسونا من صالح دعائكم

**الصادق** · 11-15-2009 01:33 AM

5- أخيرا أرجو أن تحدثنا عن المقصود فيزيائيا بpure state و بماذا تختلف عن mixed state

تتطلب الاجابة على هذا السؤال تعريف مؤثر الكثافة لانه من خلال مؤثر الكثافة نستطيع معرفة الفرق بين الحالات الصافية او النقية pure states والحالات الممزوجة mixed states
ومن اجل هذا الغرض دعنا نعرف بعض المفاهيم الرياضية التى سوف نستخدمها

ا-وصف متجه الحالة:
يُعطى متجه الحالة للمنظومة عند اى لحظة زمنية t بـ

$\150dpi%20\left|\Psi(\rm t)\rangle\right =\sum_{\rm j}c_{\rm j}(\rm t)|u_j\rangle \qquad \;(1.1)$

حيث $\150dpi \small \{|u_1\rangle, |u_2\rangle, |u_3\rangle,\dots\}$ هى متجهات اساس وحدة متعامدة orthonormal basis اى ان حاصل الضرب الداخلى للمتجه فى نفسه يساوى 1 (normal) بينما ان حاصل ضرب متجهين مختلفين يساوى صفر (orthogonal) . اما المعاملات $\150dpi \small \rm c_i(\rm t)$ فهى معاملات التوفيقة الخطية وهى عبارة عن دوال مركبة تعتمد بصورة عامة على الزمن

متجه الحالة فى المعادلة (1.1) يسمى بمتجه الket (ويمثل بمصوفة عمود)وهو ينتمى الى فضاء هيلبيرت. و توجد ايضاً متجهات حالة مرافقة تسمى بمتجهات الbra و هى تنتمى الى الفضاء المرافق. ويمكن الحصول عليها من متجهات الket عن طريق اخذ المرافق المركب وتحويل العمود الى صف

$\150dpi \left\langle\Psi(\rm t)\right| =\sum_ic^{\ast }_i(\rm t)\left\langle u_i \right| \qquad (1.2)$

حاصل الضرب الداخلى هو حاصل ضرب متجه الbra فى متجه ال ket وحاصل الضرب الداخلى للمتجه فى نفسه يُعطى مربع طول المتجه. و لما كانت متجهات الحالة هى متجهات و حدة فى فضاء هيلبرت لذا فان طول متجه الحالة يساوى $\150dpi \small \langle\Psi(\rm t)\right|\left|\Psi(\rm t)\rangle\right=1$ و اذا ضربنا المعادلة (1.1) فى المعادلة (1.2) نحصل على

$\150dpi \small \langle\Psi(\rm t)\right|\left|\Psi(\rm t)\rangle\right=\sum_i\sum_{\rm j}c^{\ast }_ic_{\rm j}\underbrace{\langle u_i\left|u_j\rangle }_{=\delta_{ij}}=\sum_i\sum_{\rm j}c^{\ast }_ic_{\rm j}\delta_{ij}=\sum_ic^{\ast }_ic_{\rm i}=1$

حيث استخدمنا خاصية التعامد والتطبيع لمتجهات الاساس

$\150dpi \small \langle u_i|u_j\rangle=\delta_{ij}=\left\{\begin{matrix} 1 &\rm if \;i=j \;\rm \;(normality\; condition)\\ 0 & \rm \;\;\;\;\; if\; i \neq j\;\rm \;(orthogonality\; condition) \end{matrix}\right.\qquad(1.3)$

من العلاقة السابقة نرى ان الدوال المركبة $\150dpi \small \rm c_i(\rm t)$ تحقق العلاقة التالية

$\150dpi \sum_i|c_i(\rm t)|^2=1 \qquad (1.4)$

يتبع....

**الصادق** · 11-15-2009 03:26 AM

تكملة لما سبق...

2-المؤثرات

قلنا ان الكميات المُقاسة تُمثل بمؤثرات تؤثر على متجهات الحالة فى فضاء هيلبرت و المؤثرات يمكن تمثيلها بمصفوفات مربعة (هنا سوف نقتصر الحديث على الحالات المتقطعة نسبة لسهولة التعامل معها و نسبة لسهولة التعميم منها الى الحالات المستمرة و سوف نتطرق لها انشاء الله فى معرض حديتنا ان استلزم الامر) و الان طالما لدينا متجهات اساس وحدة متعامدة فان مركبات المؤثر (عناصر المصفوفة) تعطى بـ

$\150dpi%20\langle u_i|\hat{A}|u_j\rangle = A_{ij}\qquad(2.1)$

و السبب هو ان ضرب المصفوفة A فى متجه الket يعطى متجه ket جديد و ضرب المتجه الجديد فى متجه الbra يعطى عدد مركب. و كمثال دعنا تأخذ فضاء ثلاثى الابعاد و نكتب متجهات الاساس المتعامدة بالصورة التالية

$\150dpi |u_1\rangle =\begin{bmatrix} 1\\ 0\\ 0 \end{bmatrix}, \qquad |u_2\rangle =\begin{bmatrix} 0\\ 1\\ 0 \end{bmatrix}; \qquad |u_3\rangle =\begin{bmatrix} 0\\ 0\\ 1 \end{bmatrix}$

الان دعنا نكتب المؤثر كمصفوفة مربعة على النحو التالى

$\150dpi \hat{A}=\begin{bmatrix} A_{11} & A_{12} & A_{13}\\ A_{21} & A_{22} & A_{23}\\ A_{31} & A_{32} & A_{33} \end{bmatrix}$

والان بضرب المؤثر فى متجه الket الاول مثلاً نحصل على متجه ket جديد و هو العمود الاول فى المصفوفة التى تمثل المؤثر

$\150dpi \hat{A}|u_1\rangle=\begin{bmatrix} A_{11} & A_{12} & A_{13}\\ A_{21} & A_{22} & A_{23}\\ A_{31} & A_{32} & A_{33} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1\\ 0\\ 0 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} A_{11}\\ A_{21}\\ A_{31} \end{bmatrix}$

الان بضرب الناتج فى متجه الbra الثانى مثلاً سوف نحصل على

$\150dpi \langle u_2|\hat{A}|u_1\rangle=\begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} A_{11} & A_{12} & A_{13}\\ A_{21} & A_{22} & A_{23}\\ A_{31} & A_{32} & A_{33} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1\\ 0\\ 0 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} A_{11}\\ A_{21}\\ A_{31} \end{bmatrix}=A_{21}$

اى نحصل على عنصر المصفوفة فى الصف الثانى و العمود الاول. اذن باستخدام العلاقة (2.1) نحصل على جميع عناصر المصفوفة التى تمثل المؤثر. بحيث ان i التى تظهر فى مؤثر الbra تُعطى رقم الصف بينما j التى تظهر فى متجه ال ket تُعطى رقم العمود. و هكذا فان حاصل الضرب فى العلاقة (2.1) هو عنصر المصفوفة فى الصف i تقاطع العمود j

تعرف القيمة المتوسطة للكمية المقاسة بـ

$\150dpi \langle A\rangle(\rm t)=\langle \Psi(\rm t)|\hat{A}|\Psi(t)\rangle \qquad(2.2)$
و يتعويض متجهات الحالة من العلاقات (1.1) و (1.2) فى العلاقة الاخيرة نحصل على

$\150dpi \langle A\rangle(\rm t)=\langle \Psi(\rm t)|\hat{A}|\Psi(t)\rangle=\sum_ic^{\ast}_i(t)\langle u_i|\hat{A}\sum_jc_j(t)|u_j\rangle=\sum_{ij}c^{\ast}_i(t)c_j(t)\langle u_i|A|u_j\rangle$

وباستخدام العلاقة (2.1) فى الحد الاخير فى الطرف الايمن نحصل على القيمة المتوسطة للكمية المُقاسة A عند اى لحظة زمنية t

$\150dpi \langle A\rangle(\rm t)=\sum_{ij}c^{\ast}_i(t)c_j(t)A_{ij}\qquad(2.3)$

ومن هنا نلاحظ ان الدوال المركبة $\150dpi \small \rm c_i(\rm t)$ تدخل بصورة تربيعة quadratic فى حساب القيم المتوسطة للكميات الفيزيائية المُقاسة

3-تطور متجه الحالة مع الزمن:

المعادلة التى تحكم تطور متجه الحالة مع الزمن هى معادلة شرودنجر

$\150dpi i \hbar \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}|\Psi(t)\rangle =\hat{H}(t)|\Psi(t)\rangle \qquad (3.1)$

وتكامل هذه المعادلة يقود الى تعريف مؤثر التطور U والذى تحدثنا عنه سابقاً

يتبع.......

**الصادق** · 11-15-2009 03:49 AM

تكملة لما سبق...

4-مؤثر الكثافة:

فى المشاركتين السابقتين قد تحدثنا عن و صف ميكانيكا الكم عن طريقة متجهات الحالة و قد بين كيفية حساب القيم المتوسطة للكميات الفيزيائية المُقاسة و كيفية تطور المنظومة بتغير متجهات الحالة مع الزمن. الان نريد ان نتحدث عن وصف اخر يكافئ الوصف السابق و لكن بدلالة مؤثرات بدلاً عن متجهات الحالة و هذه المؤثرات تسمى بمؤثرات الكثافة

يُعرف مؤثر الكثافة بحاصل الضرب الخارجى لمتجهات الحالة

$\150dpi \hat{\rho}(t)=|\Psi(t)\rangle\langle \psi(t)|\qquad(4.1)$

الان دعنا نوجد مركبات هذا المؤثر باستخدام العلاقة (2.1)

$\150dpi \rho_{ji}(t)=\langle u_j|\hat{\rho}(t)|u_i\rangle=\langle u_i|\Psi(t)\rangle\langle \psi(t)|u_j\rangle$

وبيعويض متجهات الحالة من العلاقات (1.1) و (1.2) نحصل على

$\150dpi \rho_{ji}(t)=\langle u_j|\Psi(t)\rangle\langle \psi(t)|u_i\rangle=\langle u_j|\left[\sum_kc_k(t)|u_k\rangle \sum_{\ell}c_{\ell}^{\ast}(t)\langle u_{\ell}|\right]|u_i\rangle =\sum_{k\ell}c^{\ast}_{\ell}(t)c_k(t)\langle u_j|u_k\rangle \langle u_{\ell}|u_i\rangle$

وباستخدام خاصية ال orthonormality التى تحققها متجهات الاساس نجد ان عناصر مصفوفة مؤثر الكثافة تعطى بـ

$\150dpi \\ \rho_{ji}(t) =\sum_{k\ell}c^{\ast}_{\ell}(t)c_k(t)\underbrace{\langle u_j|u_k\rangle}_{=\delta_{jk}} \underbrace{\langle u_{\ell}|u_i\rangle}_{=\delta_{i\ell }}=\sum_{k\ell}c^{\ast}_{\ell}(t)c_k(t)\delta_{jk}\delta_{i\ell }=c^{\ast}_{i}(t)c_j(t)\\ \\ \rho_{ji}(t)=c^{\ast}_{i}(t)c_j(t)\qquad(4.2)$

يتبع......

**الصادق** · 11-15-2009 06:03 AM

تكملة لما سبق...

5-تكافؤ الوصف بدلالة متجهات الحالة و الوصف بدلالة مؤثر الكثافة
التطبيع:
من المعادلة (1.4)

$\150dpi 1=\sum_{i}|c_i(t)|^2=\sum_{i}c_i^{\ast}(t)c_i(t)=\sum_i\rho_{ii}(t)$

حيث استخدمنا العلاقة (4.2) . الان نجد ان حاصل جمع العناصر التى تقع فى القطر الرئيسى (Trace) لمصفوفة مؤثر الكثافة يساوى 1

$\150dpi \rm Tr(\hat{\rho}(t))=\sum_i\rho_{ii}(t)=1\Leftrightarrow \sum_{i}|c_i(t)|^2=1\qquad(5.1)$

اذن فان معلومة ان متجهات الحالة هى متجهات وحدة تختزن فى كون ان trace مؤثر الكثافة يساوى 1

القيم المتوسطة:

قلنا ان القيم المتوسطة للكمية المُقاسة تُعطى من المعادلة (2.3)

$\150dpi \langle\hat{A}\rangle(t)=\sum_{ij}c_i^{\ast}(t)c_j(t)A_{ij}=\sum_{ij}\rho_{ji}(t)A_{ij}=\sum_{j}(\hat\rho(t) \hat{A})_{jj}$

حيث استخدمنا العلاقة (4.2) و خاصية ضرب مصفوفتين. الان نلاحظ ان الحد الاخير فى الطرف الايمن ماهو الا حاصل جمع عناصر القطر الرئيسى للمصفوفة الناتجة من ضرب مؤثر الكثافة فى مؤثر الكمية المقاسة

$\150dpi \langle\hat{A}\rangle(t)=\sum_{j}(\hat\rho(t) \hat{A})_{jj}=\rm Tr[\hat{\rho}(t)\hat{A}]\qquad(5.2)$

اذن فان متوسط القيمة المُقاسة A يساوى Trace حاصل ضرب مؤثر الكثافة فى A

تطور المنظومة:

من تعريف متجه الكثافة فى المعادلة (4.1)
$\150dpi \hat{\rho}(t)=|\Psi(t)\rangle\langle \psi(t)|\qquad(4.1)$
دعنا نفاضل الطرفين بالنسبة للزمن

$\150dpi \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}\hat{\rho}(t)=\left[\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}|\Psi(t)\rangle \right ]\langle\Psi(t)|+|\Psi(t)\rangle \right\left[\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}\langle\Psi(t)| \right ]$
وباستخدام معادلة شرودنجر (3.1) ومعادلة شرودنجر المرافقة نحصل على

$\150dpi \\ \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}\hat{\rho}(t)=\left[\frac{1}{i\hbar}\hat{H}(t)|\Psi(t)\rangle \right ]\langle\Psi(t)|+|\Psi(t)\rangle \right\left[\langle\Psi(t)| \frac{1}{-i\hbar}\hat{H}(t)\right ]=\frac{1}{i\hbar}\left[ \hat{H}(t)|\Psi(t)\rangle\langle\Psi(t)|-|\Psi(t)\rangle\langle\Psi(t)|\hat{H}(t)\right ]\\ \\ \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}\hat{\rho}(t)=\frac{1}{i\hbar}\left[\hat{H}(t) \hat{\rho}(t)-\hat{\rho}(t)\hat{H}(t)\right ]$

والحد الاخير يمثل تعريف علاقة التبادلية commutation relation
$\150dpi \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}\hat{\rho}(t)=\frac{1}{i\hbar}\left[\hat{H}(t), \hat{\rho}(t)\right ]\qquad (5.3)$

وهذه هى معادلة تطور المنظومة مع الزمن

يتبع............

**تغريد** · 11-16-2009 12:15 AM

أنت كريم جدا أخي الكريم الصادق

هذه ليست مشاركات بل درر منثورة !!!!!

أنا عاجزة عن الشكر

و أني لأرجو أن يأتي يوم أكون قادرة على رد و لو بعضا يسيرا من فضلك الذي تغمرنا به

أسأل الله أن يرزقك الرفقة الصالحة في الدنيا التي تعينك على أمور دينك و دنياك

و مرافقة نبينا الكريم عليه صلوات ربي و أشرف التسليم في الفردوس الأعلى في الآخرة

**الصادق** · 11-18-2009 09:03 AM

امين امين امين
شكر الله لك اختى وجزاك مثل الذى دعوتى لى به
وانى والله لا استحق الثناء ولكنى ارجو الدعاء وانت اختى الكريمة خيرك سابق فلك كل الشكر والتقدير

الموضوع: "الحقيقة الكمية هي حقيقة من بدع الراصد"

أدوات الموضوع

عرض

مشاركة: "الحقيقة الكمية هي حقيقة من بدع الراصد"

مشاركة: "الحقيقة الكمية هي حقيقة من بدع الراصد"

مشاركة: "الحقيقة الكمية هي حقيقة من بدع الراصد"

مشاركة: "الحقيقة الكمية هي حقيقة من بدع الراصد"

مشاركة: "الحقيقة الكمية هي حقيقة من بدع الراصد"

مشاركة: "الحقيقة الكمية هي حقيقة من بدع الراصد"

مشاركة: "الحقيقة الكمية هي حقيقة من بدع الراصد"

معلومات الموضوع

الأعضاء الذين يشاهدون هذا الموضوع

المواضيع المتشابهه

أمريكا: علماء يكشفون حقيقة كوكب "سنوايت"

روسيا تكشف حقيقة فيديو انتشر لـ"جثة مخلوق فضائي" مشاركة حفظ طباعة

"طاقية الإخفاء" الفكرة الخيالية في الماضي باتت حقيقة الآن !

Quantum computing " الحوسبة الكمية "

مجلس الكلية الدولية للجرّاحين يمنح بالإجماع لقب "ماكس ثوريك بروفيسور الجراحة" المرموق لجراح عربي

مواقع النشر (المفضلة)

مواقع النشر (المفضلة)

ضوابط المشاركة