التماثل و التماثل الفائق

**الصادق** · 09-15-2009 05:17 AM

المشاركة الأصلية كتبت بواسطة Tyns19

لدي تعليق اخر حول الجملة التالية:

مما يعني أنه إذا كانت الدالة المولدة للتحويل G لاتعتمد على الزمن اعتماداً صريحاً فإن الهماملتونيان تكون محفوظة

حتى اذا كان $\120dpi \delta H=0$ فهذا لا يعطينا الحق في القول أن الهملتونيان سيكون محفوظا وهذا لأن التغير في الهملتونيان ليس تغير كلي هذا أولا أما ثانيا فإن التغير في p و q ليس اعتباطي بل هو تغير من نوع خاص (تغير قانوني).
أضن أن الصحيح أن نقول إذا كان $\120dpi \delta H=0$ فان الهملتونيان يكون متماثل(ثابت) تحت التحويل القانوني.

والله أعلم.

لاحظ اخى Tyns19 اننا نستطيع كتابة

$H(q+\epsilon \frac{\partial G}{\partial p},p-\epsilon \frac{\partial G}{\partial q},t)=H(q,p,t)+\epsilon \frac{\partial G}{\partial t}$

بالصورة
$\frac{\mathrm{d}G}{\mathrm{d} t}=\frac{\partial G}{\partial t}+\{G,H\}=0$

وهكذا اذا كانت G لا تعتمد على الزمن اعتماداً صريحاَ فان الدالة المولدة سوف تكون محفوظة لان $\frac{\mathrm{d}G}{\mathrm{d} t} =0$
وطالما ان G تتبادل مع الهملتونيان عن طريق اقواس بوايسون $\{G,H\}=0$
فان الهملتونيان يكون ايضاً محفوظاً
وهذا ماتوصلت له اختى الكريمة تغريد فى حلها.

والله اعلم

لم افهم قولك فى العبارة

ثانيا فإن التغير في p و q ليس اعتباطي بل هو تغير من نوع خاص (تغير قانوني).

هل كنت تتحدث عن التغير ام عن التحويل ؟ لان التغيرات فى p وq هنا اعتباطية (ويجب ان تكون متناهية الصغر فى حالة التحويلات القانونية متناهية الصغر) اما التحويل الذى تولده G فهو تحويل قانونى يُستلزم ان يحافظ على البناء القانونى

والله اعلم

**الصادق** · 09-15-2009 05:26 AM

المشاركة الأصلية كتبت بواسطة Tyns19

حسب نظرية نويثر (ان اى تماثل للمنظومة الفيزيائية تحت تحويل تولده دالة G فان هناك كمية محفوظة وهى G نفسها) وهذا هو جواب السؤال في التمرين حيث أن كمية الحركة تولد التحويل الدوراني فإن التماثل تحت هذا التحويل سيؤدي الى انحفاظ كمية الحركة الزاوية.
لكن سأجرب أن أبين هذا باستعمال النتائج التي توصل اليها الأخ الصادق.
لدينا الدالة التي تولد الدوران هي: $\150dpi \ G=q_1p_2-q_2p_1$
لنحسب التغير في G:

$\150dpi \delta G=q_1\; \delta p_2+p_2\; \delta q_1-q_2\; \delta p_1-p_1\; \delta q_2$

لكن:

$\150dpi \\ \delta q_1=\delta \theta \frac{\partial G}{\partial p_1}\qquad\qquad\delta q_2=\delta \theta \frac{\partial G}{\partial p_2} \\ \\ \delta p_1=-\delta \theta \frac{\partial G}{\partial q_1}\qquad\;\;\;\; \delta p_2=-\delta \theta \frac{\partial G}{\partial q_2}$

إذن:

$\150dpi \delta G=-\delta \theta \; q_1\frac{\partial G}{\partial q_2}+\delta \theta\; p_2\frac{\partial G}{\partial p_1}+\delta \theta\;q_2\frac{\partial G}{\partial q_1}-\delta \theta\;p_1 \frac{\partial G}{\partial p_2}$

اي:

$\150dpi \delta G=-\delta \theta \left(q_1\frac{\partial G}{\partial q_2}-p_2\frac{\partial G}{\partial p_1}-q_2\frac{\partial G}{\partial q_1}+p_1 \frac{\partial G}{\partial p_2}\right)$

لكن:

$\150dpi \\q_1 =\frac{\partial G}{\partial p_2}\qquad \qquad q_2=-\frac{\partial G}{\partial p_1}\\ \\ \\ p_1=-\frac{\partial G}{\partial q_2}\qquad\qquad p_2=\frac{\partial G}{\partial q_1}$

إذا:

$\150dpi \delta G=-\delta \theta \left(\frac{\partial G}{\partial p_2}\frac{\partial G}{\partial q_2}-\frac{\partial G}{\partial q_1} \frac{\partial G}{\partial p_1}+\frac{\partial G}{\partial p_1} \frac{\partial G}{\partial q_1}-\frac{\partial G}{\partial q_2} \frac{\partial G}{\partial p_2}\right)=0$

وهو المطلوب اثباته#.

حل صحيح و جميل جداً. جزاك اله خيراً اخى Tyns19 وذادك علماً و حكمة

ملاحظة:
يمكن ايضاً ان نصل لنفس هذه النتيجة مباشرةً عن طريق استخدام اقواس بوايسون

**Tyns19** · 09-15-2009 05:33 AM

السلام عليكم اخى Tyns19
مرحباً بك لقد افتقدناك

وعليك السلام أخي الصادق، أنا أيضا افتقدتكم كثيرا.

بالنسبة لحلك للسؤال الثانى ارجو ان تنتبه لعلاقات اقواس بوايسون بين المتغيرات القديمة q و p وسوف تكتشف ان التحويل قانونى

سأدرج حلي مفصلا وأتمنى أن لا أكون قد ارتكبت خطأ فادح، أولا التحويلات المعطات هي:

$\120dpi \\Q_1=\frac{1}{\sqrt{2}}(q_1+\frac{p_1}{m\omega}); \qquad P_1=\frac{1}{\sqrt{2}}(p_1-m\omega q_2) \\ \\ \\Q_2=\frac{1}{\sqrt{2}}(q_1-\frac{p_1}{m\omega}); \qquad P{\color{red} _2}=\frac{1}{\sqrt{2}}(p_1+m\omega q_2)$

(لاحظ رقم 2 المكتوب بالأحمر أنا أعتقد وجود خطأ كتابي في املاء التمرين).
الان حسب تعريف أقواس بواسون فإن:

$\120dpi \{Q_1,P_1\}_{q,p}=\frac{\partial Q_1}{\partial q_1}\frac{\partial P_1}{\partial p_1}-\frac{\partial Q_1}{\partial p_1}\frac{\partial P_1}{\partial q_1}+\frac{\partial Q_1}{\partial q_2}\frac{\partial P_1}{\partial p_2}-\frac{\partial Q_1}{\partial p_2}\frac{\partial P_1}{\partial q_2}$

لكن:

$\120dpi \\\frac{\partial Q_1}{\partial q_1}=\frac 1{\sqrt{2}};\;\frac{\partial P_1}{\partial p_1}=\frac 1{\sqrt{2}};\;\frac{\partial Q_1}{\partial p_1}=\frac 1{\sqrt{2}\; m\omega};\;\frac{\partial P_1}{\partial q_1}=0\\\\\frac{\partial Q_1}{\partial q_2}=0;\;\frac{\partial P_1}{\partial p_2}=0;\;\frac{\partial Q_1}{\partial p_2}=0;\;\frac{\partial P_1}{\partial q_2}=-\frac {m\omega}{\sqrt{2}}$

وهكذا فان الحدود التي تبقى هي:

$\120dpi \{Q_1,P_1\}_{q,p}=\frac{\partial Q_1}{\partial q_1}\frac{\partial P_1}{\partial p_1}=\frac 1{\sqrt{2}}\cdot\frac 1{\sqrt{2}}=\frac12$

يبدو لي الحل صحيح، اذا ارتأيتم غير هذا أرجو توضيح القطعة الموجود فيها الخطأ.

**الصادق** · 09-15-2009 06:13 AM

نعم هناك خطاء املائى فى طباعة المعادلات لم انتبه له, ارجو من جميع الاخوة التدقيق دائماً فى المعادلات لان اخطاء الطباعة غير المقصودة ورادة خصوصاً عند كتابة عدد كبير من المعادلات

المعادلات الصحيحة هى

$%20\\Q_1=\frac{1}{\sqrt{2}}(q_1+\frac{p_2}{m\omega}); \qquad P_1=\frac{1}{\sqrt{2}}(p_1-m\omega q_2) \\ \\ \\Q_2=\frac{1}{\sqrt{2}}(q_1-\frac{p_2}{m\omega}); \qquad P_2=\frac{1}{\sqrt{2}}(p_1+m\omega q_2)$

شكراً لك اخى على التنبيه

**تغريد** · 09-15-2009 04:04 PM

مرحبا بعودتك أخي Tyns19 فقد افتدقناك و قد كان تواجدك في الموضوع و لا يزال يشكل مع المجهود المشكور الذي يقوم به أخي الصادق ثنائي رائع ، حفظكم و وفقكم الله

بالنسبة لقولك
"في المشاركة رقم 36 تم تعريف التحويلات القانونية بدقة، لكن الظاهر أن هناك علاقة وثيقة بين الدالة H (الهملتونيان في النظام القديم) والدالة K (الهملتونيان في النظام الجديد). وبما أن K هي دالة بالغة الأهمية فإني أحب أن نخصص لها وقت ولو صغير وهذا مجرد اقتراح والأمر بين يديكم."

ربما يكون سؤالي في ذات الإطار

أخي الصادق : لقد وجدنا أن الدالة K هي نفسها الدالة H في كل الأحوال ، فهل يجب أن تكون الدالة K تعبر عن طاقة النظام الكلية تحت أي تحويل قانوني

أعتقد أن الإجابة يفترض أن تكون نعم فطالما معادلات هاملتون للحركة لم تتغير يمكننا القول أن هذا يعني أن الطاقة محفوظة؟

و لكن

بحسب تطور الأسئلة أعتقد أنه في حال أن الدالة H و من ثم الدالة G تعتمد اعتمادا صريحا على الزمن سوف تختلف K عن H و لكن في هذه الحالة كيف سيكون الوضع و هل سيظل التحويل قانوني

مثلا الحركة تحت تأثير قوى تزايدية ثابته في حال وجود قوى احتكاك

أرجو أن يكون سؤالي ذا معنى و إلا لا تزعج نفسك بالرد أخي الصادق

**Tyns19** · 09-22-2009 02:52 AM

السلام عليكم، وعيد مبارك
لقد حدث لي التباس في حل الأخت تغريد للسؤال الثالث ولقد سبق وأن بينت النقطة المقصودة، لكن سأتكلم عنها ببعض من التفصيل الان

لقد تمثل الالتباس في ثلاث نقاط أساسية هي كالتالي:

النقطة الأولى:
البرهان على أن:

$\150dpi \ H(q+\epsilon \frac{\partial G}{\partial p},p-\epsilon \frac{\partial G}{\partial q},t)=H(q,p,t)+\epsilon \frac{\partial G}{\partial t}$

ولتوضيح نقطة الاختلاف فأنا أتفق معكم حتى النقطة التالية:

$\140dpi \ H(q+\epsilon \frac{\partial G}{\partial p},p-\epsilon \frac{\partial G}{\partial q},t)=H(q,p,t)+\epsilon\{H,G\}_q=H(q,p,t)+\epsilon\left(\frac{\partial G}{\partial t}-\frac{\mathrm{d}G}{\mathrm{d}t}\right)$

أما الباقي فأنا أرجو توضيحه ببعض التروي.

النقطة الثانية:
وهي حول تعليقي حول هذه العبارة:

و نظرا لأن

$\delta t=0$

مما يعني أن

$\.{G}=0$

لقد جاءت صياغة هذه العبارة بمفهوم (بما إن فإن) والفهوم الذي فهمته من هذه العبارة يمكن تلخيصه في الشكل الرياضي التالي:

$\150dpi \delta t=0\Rightarrow \dot{G}=0$

فهل هذا هو المقصود؟؟.

النقطة الثالثة:
يمكن صياغة الاختلاف في هذه النقطة بالشكل التالي:
اذا كان:

$\150dpi \ H(q+\epsilon \frac{\partial G}{\partial p},p-\epsilon \frac{\partial G}{\partial q},t)=H(q,p,t)$

فهل هذا يعني أن الهملتونيان كمية محفوظة؟
كانت اجابتك أخي الصادق أنت والأخت تغريد (نعم)، وكانت اجابتي (لا) وأنا لازلت أحتفظ باجابتي، كما أعتقد أنكم أيضا لا تزالون تحتفظون باجابتكم والاختلاف ليس شيئا جيدا، وأنا أكيد اننا سنتفق على هذه النقطة جيدا بعد المناقشة لكنني لا أريد مناقشتها (النقطة الثالثة) حاليا، فربما تتضح الأمور بعد جوابكم على النقطتين الأولى والثانية
وسيكون لنا حديث حول النقطة الثالثة فيما بعد انشاء الله.

وشكر لكم.

**الصادق** · 09-28-2009 09:07 PM

المشاركة الأصلية كتبت بواسطة Tyns19

السلام عليكم، وعيد مبارك
لقد حدث لي التباس في حل الأخت تغريد للسؤال الثالث ولقد سبق وأن بينت النقطة المقصودة، لكن سأتكلم عنها ببعض من التفصيل الان

لقد تمثل الالتباس في ثلاث نقاط أساسية هي كالتالي:

النقطة الأولى:
البرهان على أن:

$\150dpi \ H(q+\epsilon \frac{\partial G}{\partial p},p-\epsilon \frac{\partial G}{\partial q},t)=H(q,p,t)+\epsilon \frac{\partial G}{\partial t}$

ولتوضيح نقطة الاختلاف فأنا أتفق معكم حتى النقطة التالية:

$\140dpi \ H(q+\epsilon \frac{\partial G}{\partial p},p-\epsilon \frac{\partial G}{\partial q},t)=H(q,p,t)+\epsilon\{H,G\}_q=H(q,p,t)+\epsilon\left(\frac{\partial G}{\partial t}-\frac{\mathrm{d}G}{\mathrm{d}t}\right)$

أما الباقي فأنا أرجو توضيحه ببعض التروي.

النقطة الثانية:
وهي حول تعليقي حول هذه العبارة:

لقد جاءت صياغة هذه العبارة بمفهوم (بما إن فإن) والفهوم الذي فهمته من هذه العبارة يمكن تلخيصه في الشكل الرياضي التالي:

$\150dpi \delta t=0\Rightarrow \dot{G}=0$

فهل هذا هو المقصود؟؟.

النقطة الثالثة:
يمكن صياغة الاختلاف في هذه النقطة بالشكل التالي:
اذا كان:

$\150dpi \ H(q+\epsilon \frac{\partial G}{\partial p},p-\epsilon \frac{\partial G}{\partial q},t)=H(q,p,t)$

فهل هذا يعني أن الهملتونيان كمية محفوظة؟
كانت اجابتك أخي الصادق أنت والأخت تغريد (نعم)، وكانت اجابتي (لا) وأنا لازلت أحتفظ باجابتي، كما أعتقد أنكم أيضا لا تزالون تحتفظون باجابتكم والاختلاف ليس شيئا جيدا، وأنا أكيد اننا سنتفق على هذه النقطة جيدا بعد المناقشة لكنني لا أريد مناقشتها (النقطة الثالثة) حاليا، فربما تتضح الأمور بعد جوابكم على النقطتين الأولى والثانية
وسيكون لنا حديث حول النقطة الثالثة فيما بعد انشاء الله.

وشكر لكم.

السلام عليكم اخى Tyns19 وكل عام وانتم بخير
اعتزر لك اخى Tyns19 عنى وعن اختى الكريمة تغريد فقد انشغلنا فى الفترة السابقة فى مشروع رياضى فى منتدى اخر

اعتقد ان الالتباس قد نجم من عدم ملاحظة ان الدالة المولدة للتحويل القانونى هى ثابت من ثوابت الحركة
انظر نظرية نوزر فى المشاركة رقم 52

ان اى تماثل للمنظومة الفيزيائية تحت تحويل تولده دالة G فان هناك كمية محفوظة وهى G نفسها

الان دعنا نرجع الى المسألة
نعلم ان مفكوك تايلور لاى دالة $F(x+\delta x,y+\delta y,z+\delta z)$ يُعطى ب
$F(x+\delta x,y+\delta y,z+\delta z)=F(x,y,z)+\delta x \frac{\partial F}{\partial x}+\delta y \frac{\partial F}{\partial y}+\delta z\frac{\partial F}{\partial z}+\mathcal{O}(\delta^2)$

وهكذا فان
$H(q+\delta q,p+\delta p, t+\delta t)=H(q,p,t)+\delta q \frac{\partial H}{\partial q}+\delta p \frac{\partial H}{\partial p}+\delta t\frac{\partial H}{\partial t}$

ولكن واضح ان التغيرات المعطاة فى المسألة هى
$\delta q=\epsilon \frac{\partial G}{\partial p}; \qquad \delta p=-\epsilon \frac{\partial G}{\partial q};\qquad \delta t =0$

وبالتعويض المباشر نحصل على

$H\left(q+\epsilon \frac{\partial H}{\partial p},p-\epsilon \frac{\partial H}{\partial q}, t+0\right)=H(q,p,t)+ \epsilon \frac{\partial G}{\partial p} \frac{\partial H}{\partial q}-\epsilon\frac{\partial G}{\partial q} \frac{\partial H}{\partial q}+0$

واذا استخدمنا معادلات هملتون القانونية
$H\left(q+\epsilon \frac{\partial H}{\partial p},p-\epsilon \frac{\partial H}{\partial q}, t\right)=H(q,p,t)- \epsilon\left( \frac{\partial G}{\partial p}\dot{p}+\frac{\partial G}{\partial q} \dot{q}\right )$

اخيراً بالاستفادة من ان الدالة المولدة للتحويل القانونى ثابت من ثوابت الحركة

$0=\frac{\mathrm{d}G }{\mathrm{d} t}=\frac{\partial G}{\partial q}\dot{q}+\frac{\partial G}{\partial p}\dot{p}+\frac{\partial G}{\partial t}=0\Rightarrow \frac{\partial G}{\partial q}\dot{q}+\frac{\partial G}{\partial p}\dot{p}=-\frac{\partial G}{\partial t}$

وبالتعويض فى المعادلة اعلاه نحصل على البرهان المطلوب

$H(q+\epsilon \frac{\partial H}{\partial p},p-\epsilon \frac{\partial H}{\partial q},t)=H(q,p,t)+\epsilon \frac{\partial G}{\partial t}$

اما عن بقية المناقسة اقتبس لك ما جاء فى المشاركة رقم 71

المشاركة الأصلية كتبت بواسطة الصادق

لاحظ اخى Tyns19 اننا نستطيع كتابة

$H(q+\epsilon \frac{\partial G}{\partial p},p-\epsilon \frac{\partial G}{\partial q},t)=H(q,p,t)+\epsilon \frac{\partial G}{\partial t}$

بالصورة
$\frac{\mathrm{d}G}{\mathrm{d} t}=\frac{\partial G}{\partial t}+\{G,H\}=0$

وهكذا اذا كانت G لا تعتمد على الزمن اعتماداً صريحاَ فان الدالة المولدة سوف تكون محفوظة لان $\frac{\mathrm{d}G}{\mathrm{d} t} =0$
وطالما ان G تتبادل مع الهملتونيان عن طريق اقواس بوايسون $\{G,H\}=0$
فان الهملتونيان يكون ايضاً محفوظاً
وهذا ماتوصلت له اختى الكريمة تغريد فى حلها.

والله اعلم

والله اعلم

والله اعلم

الموضوع: التماثل و التماثل الفائق

أدوات الموضوع

عرض

مشاركة: التماثل و التماثل الفائق

مشاركة: التماثل و التماثل الفائق

مشاركة: التماثل و التماثل الفائق

مشاركة: التماثل و التماثل الفائق

مشاركة: التماثل و التماثل الفائق

مشاركة: التماثل و التماثل الفائق

مشاركة: التماثل و التماثل الفائق

معلومات الموضوع

الأعضاء الذين يشاهدون هذا الموضوع

المواضيع المتشابهه

هل قوانين نيوتن الثلاثه في الحركه كانت من اهم انجازاته ؟

قرأت لك: كشف النقاب عن التناظر الفائق

الوزراء الثلاثه

مواقع النشر (المفضلة)

مواقع النشر (المفضلة)

ضوابط المشاركة