سؤالان عن علاقة النظرية النسبية بميكانيكا الكم ؟؟؟

**أستاذ / بدر العصيمي** · 07-10-2009 10:02 PM

س1: أين يكمن أوجه التشابه والاختلاف بين النظرية النسبية و ميكانيكا الكم ؟

س2: هل من الممكن الجمع بين النظرية النسبية وميكانيكا الكم في قانون واحد ؟

**الصادق** · 07-12-2009 06:42 AM

السلام عليكم اخى أستاذ / بدر العصيمي
دعنا اولاً نطرح الحالات التالية
1-كرة تنس تتحرك بسرعة صغيرة جدا مقارنة مع سرعة الضوء
2-كرة تنس تتحرك بسرعة عالية جداً تقترب من سرعة الضوء
3-الكترون يتحرك بسرعة صغيرة جدا مقارنة مع سرعة الضوء
4-الكترون يتحرك بسرعة عالية جداً تقترب من سرعة الضوء

لوصف الحركة فى الحالة (1) طالما ان الجسم ماكروسكوبى (كبير فى الابعاد) فاننا لانحتاج الى ميكانيكا الكم لان ابعاد كرة التنس بالطبع اكبر كثيراً جداً من طول موجة دى بروغلى لها, وطالما ان سرعة كرة التنس صغيرة جدا مقارنة مع سرعة الضوء فلن نحتاج الى النظرية النسبية لذا لوصف الحركة فى الحالة (1) وصفاً كاملاً فاننا نستخدم ميكانيكا نيوتن ولن نحتاج الى قوانين ميكانيكا الكم والنظرية النسبية الخاصة

اما فى الحالة (2) فاننا لا نحتاج الى ميكانيكا الكم نسبة لنفس السبب فى الحالة (1) ولكن طالما ان السرعة عالية وتقترب من سرعة الضوء فان نظرية نيوتن تفشل فى وصف حركة المنظومة فى هذه الحالة. اى لوصف الحركة وصفاً كاملاً فى الحالة (2) فاننا نحتاج فقط الى استخدام النظرية النسبية الخاصة

فى الحالة (3) لاحظ ان الالكترون هو جسيم ميكروسكوبى (صغير جداً) لذا فاننا نحتاج الى قوانين ميكانيكا الكم وايضا طالما ان سرعة الالكترون صغيرة مقارنة مع سرعة الضوء فلن نحتاج الى النظرية النسبية الخاصة. وهكذا لوصف الحركة وصفاً كاملاً فى الحالة (3) فاننا نحتاج فقط الى استخدام ميكانيكا الكم

اما فى الحالة (4) طالما ان الالكترون جسيم ميكروسكوبى فاننا نحتاج الى قوانين ميكانيكا الكم وايضا طالما انه يتحرك بسرعة عالية جداً تقترب من سرعة الضوء فاننا نحتاج ايضا الى النظرية النسبية وهكذا لوصف الحركة وصفاً كاملاً فى الحالة (4) فاننا نحتاج الى نظرية كمية نسبوية

وهكذا اخى تلاحظ معى ان أوجه التشابه والاختلاف بين النظرية النسبية و ميكانيكا الكم تكمن فى اوجه التشابه والاختلاف بين الحالتين (2) و (3) بمعنى ان النسبية تصف الجسم الكبير السريع اما ميكانيكا الكم فتصف الصغير البطئ

اما بالنسبة لسؤالك الثانى: هل من الممكن الجمع بين النظرية النسبية وميكانيكا الكم في قانون واحد ؟ الاجابة بالطبع نعم وهذه النظرية التى تجمع النظرية النسبية مع نظرية ميكانيكا الكم تعرف بنظرية الكم النسبوية ولايجاد هذه النظرية نلاحظ ان ميكانيكا الكم تحقق نسيبة جاليليو لذا يجب استبدالها بنظرية تحقق نسبية انشتاين اى بمعنى اخر تحقق تحويلات لورنتز وتحقق العلاقة E=mc^2

اما المعادلة الاساسية فى نظرية الكم النسبوية فهى معادلة تقابل معادلة شرودمجر فى ميكانيكا الكم ولكنها تحقق تحويلات لورنتز (يوجد تفاضل من الدرجة الثانية فى الزمن واخر من الدرجة الثانية فى الفضاء) وتحقق
$E^2=p^2c^2+m_0^2c^4$
وتسمى بمعادلة كلين-غوردون, وهناك ايضاً معادلة اخرى ولكنها معادلة من الدرجة الاولى( تفاضل من الدرجة الاولى فى الزمن وتفاضل من الدرجة الاولى فى الفضاء) وتسمى بمعادلة ديراك

معادلة كلين-غوردون تصف الجسيمات القياسية التى ليس لها لف مغزلى اما معادلة ديراك فهى تصف الجسيمات الفرميونية التى لها لف مغزلى يساوى 1/2+ و 1/2- اى ان المعادلتين مكملتان لبعضهما البعض

والله اعلم

**أستاذ / بدر العصيمي** · 07-12-2009 11:20 AM

بارك الله فيك أخي الصادق على هذا الرد الرائع ...... تحياتي لك

**الصادق** · 07-13-2009 07:48 AM

اشتقاق معادلة شرودنجر (المعادلة الاساسية فى ميكانيكا الكم)

معلوم اننا فى ميكانيكا الكم نستبدل الكميات المُقاسة كلاسكياً بمؤثرات مقابلة لها تؤثر على دالة تسمى بالدالة الموجية وهى دالة تتمتع بخصائص رياضية محددة (دالة منتهية , أُحادية القيمة وتؤول الى الصفر عند الاطراف اللانهائية للفضاء )

يعطى مؤثر الطاقة بالشكل التالى:

$\hat{E}=i\hbar\frac{\partial}{\partial t}$

بينما يعطى مؤثر كمية الحركة الخطية ب

$\hat{\vec{P}}=\frac{\hbar}{i}\vec{\nabla}$

الان نستخدم تعريف الطاقة الكلية على انها مجموع طاقتى الحركة والجهد وعليه يكون مؤثر الطاقة الكلية يساوى مجموع مؤثرى طاقة الحركة وطاقة الجهد

$\hat{E}=\hat{T}+\hat{V}$

ولكن طاقة الحركة تساوى نصف الكتلة ضرب مربع السرعة

$T=\frac{mv^2}{2}$

ولكن من جانب اخر نجد ان كمية الحركة تساوى حاصل ضرب الكتلة فى السرعة وعليه نجد ان السرعة تساوى كمية الحركة مقسومة على الكتلة وهكذا بالتعويض فى طاقة الحركة اعلاه نحصل على

$T=\frac{m(\frac{P}{m})^2}{2}=\frac{P^2}{2m}$

وهكذا نستطيع كتابة مؤثر الطاقة الكلية بدلالة مؤثر كمية الحركة

$\hat{E}=\frac{\hat{P}^2}{2m}+\hat{V}$

وبتعويض قيمة مؤثر الطاقة وكمية الحركة نحصل على

$i\hbar\frac{\partial}{\partial t}=-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2+\hat{V}$

وكما قلنا سابقاً ان المؤثرات الكمية تؤثر على دالة موجية فاننا نستطيع ضرب طرفى المعادلة اعلاه فى دالة موجية ابساى لنحصل على معادلة شرودنجر

$i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\Psi(t,\vec{x})=-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2\Psi(t,\vec{x})+V\Psi(t,\vec{x})$

**الصادق** · 07-13-2009 08:22 AM

اشتقاق معادلة كلين-غوردون

نسبة لان الطاقة الكلية فى النسبية الخاصة تختلف عن الطاقة الكلية فى ميكانيكا نيوتن فاننا سوف نكتب العلاقة النسبوية لتعريف الطاقة وهى

$E^2=P^2c^2+m_0^2c^4$

حيث m_0 هى كتلة السكون للجسيم المعنى بالدراسة. وهكذا يكون مؤثر الطاقة الكلية يعطى بالعلاقة التالية

$\hat{E}^2=\hat{P}^2c^2+m_0^2c^4$

وبتعويض قيم مؤثرات الطاقة و كمية التحرك المعطاه فى المشاركة السابقة نحصل على معادلة المؤثرية التالية

$-\hbar^2\frac{\partial^2}{\partial t^2}=-\hbar^2c^2\nabla^2+m_0^2c^4$

وبعد الترتيب تأخذ المعادلة اعلاه الشكل التالى

$\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2}-\nabla^2+\frac{m_0^2c^2}{\hbar^2}=0$

وبضرب طرفى المعادلة الاخيرة فى الدالة الموجية نحصل على معادلة كلين-غوردون

$\left(\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2}-\nabla^2+\frac{m_0^2c^2}{\hbar^2}\right)\Psi(t,\vec{x})=0$

لاحظ ان المقدار

$\frac{m_0^2c^2}{\hbar^2}$

ماهو الا مربع مقلوب طول موجة كمبتون لجسيم وهو يؤكد على ان الجسيم الذى ابعاده فى حدود طول موجة كمبتون لاتنطبق عليه قوانين ميكانيكا الكم بل يخضع لقوانين نظرية الكم النسبوية لاته يتحرك بسرعة تقترب من سرعة الضوء. اما اذا كان الجسيم يتحرك بسرعة صغيرة مقارنة بسرعة الضوء فان ابعاد الجسيم تكون فى حدود موجة دى بروغلى وعليه نجد ان هذا الجسيم يخضع الى قوانين ميكانيكا الكم اى معادلة شرودنجر

لاحظ ان معادلة كلين-غوردون تحتوى على مشتقتين فى الزمن و الفضاء وهذا الموثر عادة مايسمى رياضياً بمؤثر دلنبيرت ويكتب اختصاراً بمربع اى ان معادلة كلين-غوردون يمكن تكتب بالشكل المختصر التالى

$\left(\Box +\frac{m_0^2c^2}{\hbar^2}\right)\Psi(t,\vec{x})=0$

**nagam20** · 07-19-2009 07:26 PM

سؤال لي لو سمحت
ما علاقة هذا بمحاولة آينشتاين التي أخفقت في إيجاد نظرية المجال الموحد؟ و هل المقصود بنظرية المجال الموحد هي نظرية تجمع بين النسبية و ميكانيكا الكم؟ و لماذا أخفق آينشتاين؟هل لأن الوقت لم يسعفه؟(توفي!!) ,أم لأنه لم يستطع ذلك؟