معادلة انشتاين فى النسبية العامة

**الصادق** · 03-30-2009 11:42 PM

تحويل الاحداثيات

الان سوف نوقف الحديث عن قوى التاقل الى حين, وسوف نتناول موضوع تحويل الاحداثيات حتى يتمكن القارئ من فهم الدور الذى يلعبه الممتدد المترى فى وصف منظومات الاحداثيات وليتعرف ايضا على التغير الذى يطراء على الممتدد المترى عند التحويل من اطار الى اخر .
دعنا نبدأ بمثال بسيط لمنظومة احداثيات مستوية فى فضاء ثنائ الابعاد, ولتكن المنظومة الكارتيزية x و y نريد ايجاد تحويل من الاحداثيات الكارتيزيه هذه الى نظام الاحداثيات القطبى (الدائرى) المعرف بنصف قطر r وزاوية $\theta$

يتضح من الرسم اعلاه ان جيب تمام الزاوية $\theta$ يساوى حاصل قسمة الضلع المجاور للزاوية x مقسوما على الوتر اما جيب الزاوية $\theta$ فيساوى حاصل قسمة الضلع المقابل للزاوية y مقسوما على الوتر

$\\ \cos\theta =\frac{x}{r} \\ \\ \sin \theta=\frac{y}{r}$

وبضرب الطرفين فى اى من المعادلتين فى r نحصل على معادلات التحويل من النظام الكارتيزى الى النظام القطبى الدائرى

$\\x=r\cos \theta \\y=r\sin \theta \qquad \qquad (23)$

يمكن للقارئ ان يفهم المعادلات اعلاه على انها اسقاطات للمتجه r بحيث يكون الاسقاط المجاو للزاوية x يعطى بحاصل ضرب نصف القطر مضروبانا فى جيب تمام الزاوية, اما الاسقاط المقابل y يعطى بحاصل ضرب نصف القطر فى جيب الزاوية, هذه القاعدة سوف تكون مفيدة عند تناول عملية تحويل المحاور الكارتيزية x و y و z الى نظام الاحداثيات الكروية.
الان دعنا نحسب التغير فى المحاور x و y بدلالة التغيرات المقابلة فى نظام الاحداثيات الدائرى, من اجل هذه الحسابات يحتاج القارئ لمعرفة مبادئ التفاضل البسيطة, ولكى نعطى وصفا ذاتيا متكاملا لمادة هذا الموضوع سوف اضع علاقة عامة لتعريف التغير فى دالة ما
افترض دالة $f(x,y)$ تعتمد على المتغيرات x و y. الان نجد ان التغير فى الدالة f يعطى بقاعدة السلسلة التالية

$df(x,y)=\frac{\partial f}{\partial x}dx+\frac{\partial f}{\partial y}dy \qquad (24)$

بالرجوع الى المعادلة (23) نجد ان x و y دوال فى كل من r و سيتا وعليه بتطبيق قاعدة السلسلة (24) نحصل على

$\\ dx=\frac{\partial x}{\partial r}dr+\frac{\partial x}{\partial \theta}d \theta \qquad(25)\\ \\dy=\frac{\partial y}{\partial r}dr+\frac{\partial y}{\partial \theta}d \theta \qquad (26)$

ومن المعادلات (23) يمكن حساب التفاضلات اعلاه

$\\ \frac{\partial x}{\partial r}=\cos \theta , \qquad \qquad \frac{\partial x}{\partial \theta}=-r\sin \theta \\ \\ \frac{\partial y}{\partial r}=\sin \theta , \qquad \qquad \frac{\partial y}{\partial \theta}=r\cos \theta$

وبالتعويض المباشر فى المعادلات (26) نجد ان

$\\ dx=\cos \theta dr - \sin \theta d\theta \\ \\dy=\sin \theta dr + \cos \theta d\theta \qquad \qquad (27)$

وهكذا نستطيع حساب مربع عنصر الطول فى الاحداثيات القطبية على النحو التالى

$ds^2=dx^2+dy^2=(\cos \theta dr - \sin \theta d\theta)^2+(\sin \theta dr + \cos \theta d\theta)^2$

وبفك التربيع فى المعادلة اعلاه نحصل على

$ds^2=(\cos^2 \theta + \sin^2 \theta) dr^2 +r^2(\cos^2\theta+\sin^2\theta) d\theta^2$

واستخدام العلاقة المثلثية $\cos^2 \theta + \sin^2 \theta=1$ نحصل على

$ds^2=dr^2 +r^2d\theta^2 \qquad \qquad (28)$
والتى يمكن اعادة كتابتها بالصورة التالية

$ds^2=g_{rr}drdr +g_{\theta \theta }d\theta d\theta \qquad \qquad (29)$
وبمقارنة المعالة (29) مع المعادلة (28) نحصل على قيم المعاملات والتى تمثل مركبات الممتد المترى فى نظام الاحداثيات الدائرية

$g_{rr}=1, \qquad g_{\theta \theta }=r^2$
وبقية المعاملات التى لم تظهر فى المعادلة (28) تساوى اصفارا يمكن ترتيب مركبات g فى شكل مصفوفة على النحو التالى :

$g_{\mu \nu}=\begin{pmatrix}1 &0 \\ 0 & r^2\end{pmatrix} \qquad (30)$

وهذا هو الممتد المترى فى نظام الاحداثيات الدائرى

يتصل.....

**الصادق** · 03-31-2009 02:45 AM

دعنا الان نتحث عن منظومة احداثيات مستوية فى فضاء ثلاثى الابعاد, ولتكن المنظومة الكارتيزية x و y و z. والمطلوب هو ايجاد تحويل من الاحداثيات الكارتيزيه هذه الى نظام الكروية المعرفة بنصف قطر r وزوايا $\theta$ و $\phi$

الان سوف نطبق قاعدة الاسقاط التى تحدثنا عنها فى المشاركة السابقة

اسقاط r المجاور للزاوية $\theta$ يمثل المركبة z اى ان

$z=r\cos\theta$

اما الاسقاط المقابل للزاوية $\theta$ لا يمثل اى من المركبات x و y وانما هو الخط المظلل فى المستوى x-y ويساوى $r\sin\theta$ وهو يمثل نصف قطر جديد يمكن ان نسقطه فى اتجاه كل من x و y وعليه يكون اسقاط نصف القطر الجديد فى الاتجاه المجاور لزاوية $\phi$ هو المركبة x اى ان

$x=(r\sin\theta)\cos \phi$

اما اسقاط نصف القطر الجديد فى الاتجاه المقابل لزاوية $\phi$ يمثل المركبة y اى ان

$y=(r\sin\theta)\sin \phi$

وهكذا نحصل على معادلات التحويل من الاحداثيات الكارتيزية الى الاحداثيات الكروية

$\\ x=r\sin \theta \cos \phi \\y=r\sin\theta \sin\phi \\z=r\cos\theta \qquad \qquad (31)$

لحساب التغير فى x و y و z نجد ان x و y و z دوال فى كل من r و سيتا وفاى وعليه بتطبيق قاعدة السلسلة لثلاثة متغيرات نحصل على التغيرات التالية

$\\ dx=\frac{\partial x}{\partial r}dr+ \frac{\partial x}{\partial \theta }d\theta + \frac{\partial x}{\partial \phi }d\phi \\ \\dy=\frac{\partial y}{\partial r}dr+ \frac{\partial y}{\partial \theta }d\theta + \frac{\partial y}{\partial \phi }d\phi \\ \\dz=\frac{\partial z}{\partial r}dr+ \frac{\partial z}{\partial \theta }d\theta + \frac{\partial z}{\partial \phi }d\phi \qquad \qquad (32)$

ومن المعادلات (31) يمكن مباشرة حساب التفاضلات التى تظهر فى المعادلة الاخيرة

$\\ \frac{\partial x}{\partial r}=\sin\theta \cos \phi,\qquad \frac{\partial x}{\partial \theta }=r\cos\theta \cos \phi, \qquad \frac{\partial x}{\partial \phi }=-r\sin\theta \sin \phi \\ \\ \frac{\partial y}{\partial r}=\sin\theta \sin \phi,\qquad \frac{\partial y}{\partial \theta }=r\cos\theta \sin \phi, \qquad \frac{\partial y}{\partial \phi }=r\sin\theta \cos \phi \\ \\ \frac{\partial z}{\partial r}=\cos\theta , \qquad \qquad \frac{\partial z}{\partial \theta }=-r\sin\theta ,\qquad \qquad \frac{\partial z}{\partial \phi }=0$

وبتعويض هذه التفاضلات فى المعادلات (32) نحصل على

$\\ dx= \sin\theta \cos \phi dr + r\cos\theta \cos \phi d\theta -r\sin\theta \sin \phi d\phi \\ \\dy= \sin\theta \sin \phi dr + r\cos\theta \sin \phi d\theta + r\sin\theta \cos \phi d\phi \\ \\ dz=\cos\theta dr-r\sin\theta d \theta \qquad \qquad (33)$

وهكذا نستطيع حساب مربع عنصر الطول فى الاحداثيات الكروية على النحو التالى

$\\ ds^2=dx^2+dy^2+dz^2 \\ \\ds^2 =(\sin\theta \cos \phi dr + r\cos\theta \cos \phi d\theta -r\sin\theta \sin \phi d\phi)^2 \\ + (\sin\theta \sin \phi dr + r\cos\theta \sin \phi d\theta + r\sin\theta \cos \phi d\phi)^2 \\ + (\cos\theta dr-r\sin\theta d \theta )^2$

و بعد فك الحدود المربعة فى المعادلة اعلاه واستخدام العلاقة المثلثية التى ورد ذكره فى المشاركة السابقة سوف نحصل على

$ds^2=dr^2+r^2d\theta^2+r^2 \sin^2\theta d\phi^2 \qquad \qquad (34)$

وبمقارنة هذه المعادلة مع الصيغة العامة التالية

$\\ds^2=g_{rr}drdr +g_{r \theta }dr d\theta + g_{r \phi}dr d\phi g_{\theta r}d\theta dr + g_{\theta \theta }d\theta d\theta \\ +g_{\theta \phi } d\theta d\phi + g_{\phi r}d\phi dr+g_{\phi \theta }d\phi d\theta +g_{\phi }d\phi d\phi \qquad \quad (35)$

نحصل على قيم المعاملات والتى تمثل مركبات الممتد المترى فى نظام الاحداثيات الكروية

$g_{rr}=1, \qquad g_{\theta \theta }=r^2, \qquad g_{\phi \phi}=r^2\sin^2\theta$

وجميع بقية مركبات g تساوى الصفر

يمكن ترتيب مركبات g فى شكل مصفوفة على النحو التالى :

$g_{\mu \nu }=\begin{pmatrix}1 &0 &0 \\ 0 & r^2 & 0\\ 0& 0 & r^2\sin^2\theta \end{pmatrix} \qquad \qquad (36)$

وهذا هو الممتد المترى فى نظام الاحداثيات الكروى

يتصل....

**murad abuamr** · 04-01-2009 10:45 PM

بارك الله عليك ، إلى الأمام .

**محمد ابوزيد** · 04-01-2009 11:10 PM

هل رايتم فكرتى واختيارى

اما فكرتى فهى تولى الاشراف لاساتذه جامعيين

واما اختيارى فهو لاخى العزيز الصادق

والنتيجة هى كما تشاهدون

**الصادق** · 04-02-2009 12:39 AM

لقد تحدثنا فى المشاركتين السابقتين عن تحويل نظام الاحدثيات من الاحداثيات الكارتيزية الى الاحداثيات القطبية و الاحداثيات الكروية , ولكن لم نتحدث عن ادخال البعد الزمنى كمحور وكانت مناقشتنا تنحصر فى انوع محددة من نظم الاسناد, الان نريد ايجاد صيغة عامة للتحويل من اى نظام احداثيات رباعية الى اخر . ومن جل هذا سوف نعمم نفس الطريقة التى استخدمناها فى المشاركة السابقة :

الطريقة العامة لتحويل نظم الاحداثيات
1) نعرف نظام احاثيات رباعى $x^{\mu}$ مركباته هى $x^{\mu}=(x^0, x^1, x^2, x^3)$ وسوف نفترض انها تعتمد على معامل واحد هو s اى انها جميعها دوال فى s اى $x^{\mu}=x^{\mu}(s)$

2) الان نريد التحويل من نظام الاحداثيات العام $x^{\mu}=(x^0,x^1,x^2, x^3)$ الى نظام احداثيات عام اخر هو $y^{\alpha}=(y^0,y^1,y^2, y^3)$

3) لاحظ انه ليست لدينا اى فكرة عن العلاقة بين النظامين الاحداثين x و y كما كانت لدينا العلاقات التى تربط الاحداثيات الكارتيزية بالاحداثيات الكروية فى المعادلات (31) ولكن كل ما نعلمه هو وجود علاقة ما تربط $x^{\mu}$ ب $y^{\alpha}$

اى ان نظام الاحداثيات الجديد دالة فى نظام الاحداثيات القديم

$y^{\alpha}=y^{\alpha}(x^0,x^1,x^2, x^3)$

4) نستخدم قاعدة السلسلة لايجاد التغير فى نظام الاحداثيات y (مثلما فعلنا فى المعادلات (32))

$dy^{\alpha}=\frac{\partial y^{\alpha}}{\partial x^0}dx^0+\frac{\partial y^{\alpha}}{\partial x^1}dx^1+\frac{\partial y^{\alpha}}{\partial x^2}dx^2+\frac{\partial y^{\alpha}}{\partial x^3}dx^3 \qquad (37)$
والمعادلة الاخيرة يمكن كتابتها فى شكل مجموع كما يلى

$dy^{\alpha}=\sum_{\mu=0}^{3}\frac{\partial y^{\alpha}}{\partial x^{\mu}}dx^{\mu}$

يمكن للقارئ ان يستخدم قاعدة تجميع انشتاين ويسقط لامة التجميع طالما ان المعامل ميو قد تكرر مرتين فى المعادلة

$dy^{\alpha}=\frac{\partial y^{\alpha}}{\partial x^{\mu}}dx^{\mu} \qquad (38)$

لا حظ ان المعامل التفاضلى $\frac{\partial y^{\alpha}}{\partial x^{\mu}}$ به معاملين الفا و ميو (لترغيم الصف والعمود) لذا يلعب دور مصفوفة غير شاذة (محددها لا يساوى الصفر)

الان ايضا من المعادلة الاخيرة يمكن ايجاد التحويل العكسى من نظام الاحداثيات y الى نظام الاحداثيات x اى ان

$dx^{\mu}=\frac{\partial x^{\mu}}{\partial y^{\alpha}}dy^{\alpha} \qquad (39)$

وهذا هو التغير فى الاحداثى $x^{\mu}$ اما التغير فى احداثى $x^{\nu}$ فهو يعطى بنفس المعادلة اعلاه فقط بتغير ميو الى نيو وتغير الحرف المتكرر باى حرف اخر (كما يحلو للقارئ فله مطلق الحرية فى اختيار الحرف المتكرر) وليكن بيتا مثلا

$dx^{\nu}=\frac{\partial x^{\nu}}{\partial y^{\beta}}dy^{\beta} \qquad (40)$

الان بضرب المعادلتين (39) و (40) نحصل على

$dx^{\mu}dx^{\nu}=\frac{\partial x^{\mu}}{\partial y^{\alpha}}\frac{\partial x^{\nu}}{\partial y^{\beta}}dy^{\alpha}dy^{\beta}$

اذا ضربنا طرفى المعادلة الاخيرة فى الممتدد المترى فى منظومة الاحداثيات x نحصل على مربع طول الفترة

$ds^2=g_{\mu \nu }dx^{\mu}dx^{\nu}=\frac{\partial x^{\mu}}{\partial y^{\alpha}}\frac{\partial x^{\nu}}{\partial y^{\beta}}g_{\mu \nu }dy^{\alpha}dy^{\beta}\qquad(41)$

اذن من الواضح ان الحد المضروب فى $dy^{\alpha}dy^{\beta}$ فى الطرف الايمن من المعادلة الاخيرة, هو الممتدد المترى فى نظام الاحداثيات y والذى سوف نرمز له برمز g تيلدا

$\tilde{g}_{\alpha \beta }(y)=\frac{\partial x^{\mu}}{\partial y^{\alpha}}\frac{\partial x^{\nu}}{\partial y^{\beta}}g_{\mu \nu }(x)\qquad (42)$

وهكذا نكون قد تحصلنا على الطريقة العامة لتغير نظام الاحداثيات و المعادلة (42) هى المعادلة العامة لتغير الممتدد المترى من اطار الى اخر

يتصل......

**الصادق** · 04-02-2009 03:30 AM

معادلة الجيودسك

الجيودسك هو اقصر خط يربط بين نقطتين فى الفضاء المنحنى. لا يجاد هذه المعادلة سوف نستخدم النتائج التى تحصلنا عليها فى المشاركة السابقة وهى حرية تغير نظام الاحداثيات كيفما نشاء طالما ننا نطبق قوانين التحويل سالقة الذكر.

من اجل التبسيط افترض ان نظام الاحداثيات $%20y^{\alpha}$ هو نظام كارتيزى (مستوى) اما النظام $x^{\mu}$ هو عبارة عن فضاء منحنى, وهكذا طالما ان نظام الاحداثيات $y^{\alpha}$ هو نظام مستوى, فان اقصر خط يربط بين نقطتين هو الخط المستقيم , اما نظام الاحداثيات x فهو نظام احداثيات لفضاء منحنى لذا فان اقصر خط فيه هو ما يعرف بالجيودسك

دعنا الان نحسب معدل تغير $y^{\alpha}$ بالنسبة لمعامل s (بالطبع تفاضل الخط المستقيم يمثل ميل الخط المستقيم) ولكن نحن افترضنا ان نظام الاحداثيات $y^{\alpha}$ يعتمد على $x^{\mu}$ لذا سوف نستخدم قاعدة التفاضل الضمنى( او قاعدة السلسلة )

$\frac{dy^{\alpha}}{ds}=\frac{\partial y^{\alpha}}{\partial x^{\mu}}\frac{dx^{\mu}}{ds}$

لاحظ ان تكرر المعامل الحر ميو يستلزم عملية الجمع (قاعدة انشتاين للتجميع)

الان نريد حساب المشتقة الثانية $y^{\alpha}$ (اى تفاضل المشتقة الاولى وهو يساوى تفاضل الميل الثابت للخط المستقيم)

$\frac{d^2y^{\alpha}}{ds^2}=\frac{d}{ds}\left(\frac{\partial y^{\alpha}}{\partial x^{\mu}}\frac{dx^{\mu}}{ds}\right)$

لاحظ ان التفاضل فى الطرف الايمن من المعادلة الاخيرة هو تفاضل حاصل ضرب دالتين ويخضع للعلاقة

( الدالة الاولى فى تفاضل الدالة الثانية زائدا تفاضل الدالة الاولى فى الدالة الثانية)

$\frac{d^2y^{\alpha}}{ds^2}=\frac{\partial y^{\alpha}}{\partial x^{\mu}}\frac{d}{ds}\left(\frac{dx^{\mu}}{ds}\right)+\frac{d}{ds}\left(\frac{\partial y^{\alpha}}{\partial x^{\mu}}\right)\frac{dx^{\mu}}{ds}$

لاحظ ان الحد الثانى فى المعادلة الاخيرة هو تفاضل بالنسبة ل s لمقدار يعتمد ضمنيا على s لذا يجب تطبيق قاعدة التفاضل الضمنى مرة اخرى على هذا الحد لنحصل على

$\frac{d^2y^{\alpha}}{ds^2}=\frac{\partial y^{\alpha}}{\partial x^{\mu}}\left(\frac{d^2x^{\mu}}{ds^2}\right)+\left[\frac{\partial}{\partial x^{\nu}}\left(\frac{\partial y^{\alpha}}{\partial x^{\mu}}\right)\frac{dx^{\nu}}{ds}\right]\frac{dx^{\mu}}{ds}$

لاحظ وجود الجمع لتكرار المعامل ميو فى الحد الاو ل الايمن ووجود الجميع على ميو ونيو فى الحد الثانى فى الطرف الايمن. دعنا الان نغير المعامل المتكرر ميو فى الحد الاول الى معامل اخر لامدا وذلك لكى نتمكن كن استخراج عامل مشترك بين الطرفين من دون ان يظهر حرف ميو متكررا اكثر من مرة واحدة فى الحد الثانى (تزكر اننا قلنا ان للقارئ مطلق الحرية فى تسمية الحرف المترر ولكن يجب عدم تكرره اكثر من مرة لكى لاتلتبس عليه عملية الجمع)

$\frac{d^2y^{\alpha}}{ds^2}=\frac{\partial y^{\alpha}}{\partial x^{\lambda}}\left(\frac{d^2x^{\lambda}}{ds^2}\right)+ \frac{\partial^2 y^{\alpha}}{\partial x^{\mu} \partial x^{\nu}}}\frac{dx^{\mu}}{ds}\frac{dx^{\nu}}{ds}$

باستخراج $\frac{\partial y^{\alpha}}{\partial x^{\lambda}}$ من طرفى المعادلة الاخيرة سوف يظهر مقلوبه (التفاضل العكسى) مضروبا فى الحد الثانى فى الايمن

$\frac{d^2y^{\alpha}}{ds^2}=\frac{\partial y^{\alpha}}{\partial x^{\lambda}}\left[\frac{d^2x^{\lambda}}{ds^2} + \frac{\partial x^{\lambda}}{\partial y^{\alpha}}\frac{\partial^2 y^{\alpha}}{\partial x^{\mu} \partial x^{\nu}}}\frac{dx^{\mu}}{ds}\frac{dx^{\nu}}{ds}\right]$

قلنا ان y عبارة عن فضاء مستوى لذا فان اقصر خط يربط بين نقطتين هو الخط المستقيم وعليه المشتقة الاولى بالنسبة ل s تمثل ميل الخط المستقيم (من الناحية الدينميكية فان المشتقة الاولى بالنسبة ل s مقسومة على سرعة الضوء تمثل السرعة اللحظية) اما المشتقة الثانية فهى عبارة عن تفاضل للميل الثابت للخط المستقيم وعليه يجب ان تساوى الصفر (المشتقة الثانية للسرعة تساوى التسارع ) وهكذا يكون الطرف الايسر من المعادلة الاخيرة مساويا للصفر والسبب هو

هندسيا: ميل الخط المستقيم فى الفضاء المستوى يكون ثابتا وعليه فان تفاضله يساوى الصفر
فيزيائيا : اذا استبدلنا s/c (اى زمن اطار السكون) فان المشتقة الاولى تمثل السرعة الثابتة اما المشتقة الثانية تمثل التسارع ولماكانت السرعة ثابته فان التسارع يجب ان يساوى الصفر

وهكذا بالتعويض فى المعادلة الاخيرة نحصل على معادلة الجيودسك وهى معادلة اقصر خط يربط بين نقطتين فى فضاء منحنى

$\frac{d^2x^{\lambda}}{ds^2} + \frac{\partial x^{\lambda}}{\partial y^{\alpha}}\frac{\partial^2 y^{\alpha}}{\partial x^{\mu} \partial x^{\nu}}}\frac{dx^{\mu}}{ds}\frac{dx^{\nu}}{ds}=0 \qquad$

الحد
$\frac{\partial x^{\lambda}}{\partial y^{\alpha}}.\frac{\partial^2 y^{\alpha}}{\partial x^{\mu} \partial x^{\nu}}}$
يعرف بحد كرستوفل ويرمز له بالرمز $\Gamma^{\lambda}_{\mu \nu}$ ولو لا هذا الحد (اى انه لا يساوى الصفر) لكانت المشتقة الثانية ل x تساوى صفرا وهذا واضح من المعادلة الاخيرة. اذن فان هذا الحد يدل على وجود انحناء (لا يساوى الانحناء ولكن يدل على الانحناء) فى نظام الاحداثيات x . اما اذا نظرنا له من الناحية الفيزيايئية فلو لا هذا الحد لكان التسارع يساوى الصفر وعليه فان هذا الحد يدل على وجود مصدر للتسارع اى يرتبط بالقوة التثاقلية

$\frac{d^2x^{\lambda}}{ds^2} +\Gamma^{\lambda}_{\mu \nu}\frac{dx^{\mu}}{ds}\frac{dx^{\nu}}{ds}=0 \qquad (43)$

وهى المعادلة العامة للجيودسك وهى تمثل مسار الشعاع الضوئى فى الفضاء المنحنى لان الضوء يسلك اقصر مسار يربط بين نقطتين

لاحظ فى الرسم ادناه لو كان الفضاء مستويا لسلك الضو المسار الاحمر ولكن نسبة لان الفضاء منحنيا نسبة لوجود قوى تثاقل نجمت عن الكتلة المبينة بالرسم, فان الضوء يتحرك فى الجيودسك المبين باللون الازرق الفاتح

يتصل......

**الصادق** · 04-03-2009 01:49 AM

عامل كرسوفل Christoffel symbol

فى المشاركة السابقة اوجدنا عامل كرسوفل بدلالة التفاضلات على الاحداثيات المحلية و لكن بشكل عام يمكننا ان نكتب عامل كرسوفل بدلالة التفاضلات على الممتدد المترى على النحو التالى

$%20\Gamma^{\lambda}_{\mu \nu}=\frac{1}{2}g^{\lambda \alpha}\left(\frac{\partial g_{\alpha \nu}}{\partial x^{\mu}}+\frac{\partial g_{\alpha \mu}}{\partial x^{\nu}}-\frac{\partial g_{\mu \nu}}{\partial x^{\alpha}}\right)\qquad (44)$

لاحط ان تكرار المعامل الفا يعنى الجمع من الفا=صفر الى الفا=3 وايضا يجب على القارئ ان ينتبه الى ان $g^{\lambda \alpha}$ هو معكوس الممتدد المترى $g_{\lambda \alpha}$

لاحظ ان من خواص عامل كرسوفل انه لا يتخير عند تغير ميو بنيو (فقط نكون بدلنا التفاضلين الاول والثانى فى المعادلة (44)) اى ان

$\Gamma^{\lambda}_{\mu \nu}=\Gamma^{\lambda}_{\nu \mu} \qquad (45)$

تمرين (1):

اوعطيت ان الممتدد المترى لفضاء زمنكانى رباعى الابعاد يعطى ب

$g_{\mu \nu}=\begin{pmatrix} -1&0 & 0& 0\\ 0& 1 & 0 & 0\\ 0& 0 & r^2 &0 \\ 0& 0 & 0 & r^2\sin^2 \theta\end{pmatrix} \qquad (46)$

مستخدما المعادلة (44) والخاصية (45) احسب جميع مركبات عامل كرسوفل غير الصفرية

تلميح: المسألة تعتمد فقط على حساب التفاضلات والتعويض المباشر لحساب المركبات لعامل كرستوفل

تنوية: يستحيل على اى قارئ ان يتعلم النسبية العامة دون ان يحل مسائل وتمارين, وصدقونى سوف يتعلم القارئ الكثير من حل التمارين. مثلا المبتدئ لاول مرة سوف يحسب 64 حدا ليصل الى المركبات اعلاه اما اذا استخدم الملاحظة (45) سوف يحسب 40 حدا فقط وبالممارسة واستخدام الحدس الفيزيائى سوف يكون القارئ قادرا على اختيار مركبات محددة هى بالضبط الكميات غير الصفرية لعامل كرستوفل, وهذا لا يتاتى الا بحل مثل هذه التمارين.

اذا كنت جادا فى رغبتك فى تعلم النسبية العامة وقمت بحل هذا التمرين فضع حلك فى موضوع منفصل باسم حلول تمارين النسبية العامة واذا تحصلت على الاجابات الصحيحة سوف ننقل مشاركتك الى هذا الموضوع

يتصل...

الموضوع: معادلة انشتاين فى النسبية العامة

أدوات الموضوع

عرض

مشاركة: معادلة انشتاين فى النسبية العامة

مشاركة: معادلة انشتاين فى النسبية العامة

مشاركة: معادلة انشتاين فى النسبية العامة

مشاركة: معادلة انشتاين فى النسبية العامة

مشاركة: معادلة انشتاين فى النسبية العامة

مشاركة: معادلة انشتاين فى النسبية العامة

مشاركة: معادلة انشتاين فى النسبية العامة

معلومات الموضوع

الأعضاء الذين يشاهدون هذا الموضوع

المواضيع المتشابهه

تسجيل صوتي للعالم انشتاين وهو يتحدث عن معادلة الكتلة والطاقة

النسبية الخاصة و النسبية العامة

إلى الأخ الكريم الصادق (تعقيباً على موضوعه المييز معادلة أينشتاين في النسبية العامة )

أريد العبارات العامة لحلول معادلة شرودينغر

مواقع النشر (المفضلة)

مواقع النشر (المفضلة)

ضوابط المشاركة