رد: علم الفيزياء النظرية مفهوم وقواعد ونظريات
الدرس الثالث.........معادلات ماكسويل
من ويكيبيديا، الموسوعة الحرة
قوانين مكسويل عبارة عن مجموعة من أربع معادلات تصف سلوك وتغيرات الحقلين الكهربائي والمغناطيسي، وتآثراتهما مع المادة وتحولاتهما إلى أشكال أخرى من الطاقة. هذه القوانين من وضع الفيزيائي جيمس ماكسويل .وهذه المعادلات تصف العلاقات المتبادلة بين كل من المجالات الكهربائية والمجالات المغناطيسية والشحنات الكهربائية والتيار الكهربائي.
نص قانون مكسويل في الكهرطيسية: ((’إذا انتقلت دارة أو جزء من دارة كهربائية مغلقة ضمن حقل مغناطيسي منتظم فإنها تبذل عملا يساوي شدة التيار الكهربائي المارة فيها في تغير التدفق المغناطيسي الذي يجتازها’))
[عدل]تاريخيا
كانت هذه المعادلات معروفة من قبل لكن بصيغة مختلفة :
http://upload.wikimedia.org/math/e/b...c3f1d522a4.png
http://upload.wikimedia.org/math/5/7...af21502c90.png
http://upload.wikimedia.org/math/8/8...992d6b7719.png
http://upload.wikimedia.org/math/0/d...68568310ef.png
الدافع وراء نسبة هذه المعادلات إلى ماكسويل رغم أنه ليس هو من وضعها هو اكتشافه وبرهنته على أنها سليمة فقط في حال كان المجال الكهربائي Eساكنا. أي أن المعادلات السابقة هي حالة خاصة ولا تنطبق إلا عندما يكون :
http://upload.wikimedia.org/math/5/e...c4c58b1a06.png
قام ماكسويل بافتراض تصحيحات لهذه المعادلات ولم يثبتها في التجربة وقام بتعميمها لتشمل المجالات الكهربية المتغيرة زمنيا مما مهد الطريق لاكتشاف الموجات الكهرومغناطيسية ومعادلتها كما فرض أن الضوء عبارة عن موجة كهرومغناطيسية إضافة إلى أهم ما قام به وهو افتراض وجود تيار يسري فيالعوازل أطلق عليه مسمى تيار الإزاحة.
[عدل]المعادلات
والجدير بالذكر أن المعادلة الأخيرة هي في الأصل تعديل للقانون الأصلي لأمبير والذي يصف العلاقة بين المجال المغناطيسى والتيارات المنشئة له في صورتها التكاملية ولكن بعد الوضع في الاعتبار تيار الإزاحة---- وقانون أمبير في صورته العامة يوضح أن المجال المغناطيسى يمكن أن ينشأ عن تيار كهربى أو عن مجال كهربى متغير مع الزمن.
[عدل]الصورة التكاملية لمعادلات ماكسويل في الفراغ
العلاقة الفيزيائية |
الظاهرة الطبيعية(الفيزيائية) |
قانون جاوس للكهربية |
يعبر هذا القانون عن العلاقة بين فيض المجال الكهربى من سطح مغلق والشحنة الموجودة داخل السطح المغلق. |
قانون جاوس للمغناطيسية |
ويعبر هذا القانون عن الحقيقة التجريبية القائمة حتى الآن وهو عدم وجود شحنة مغناطيسية أو أقطاب مغناطيسية منفردة. |
قانون فاراداي |
يعبر عن العلاقة بين القوة الدافعة الكهربية ق.د.ك النشئة بالحث في مسار مغلق ومعدل تغير فيض المجال المغناطيسى خلال أي سطح محدود بالمسار المغلق، ويبرهن عدم اعتماد فرق الجهد على المسار الذي يسلكه. |
قانون أمبير - ماكسويل(Ampere-Maxwell Law) |
يعبر عن العلاقة بين المجال المغناطيسي والتيارات المنشئة له(تيار التوصيل الفعلى وتيار الإزاحة |
[عدل]اشتقاق سرعة الضوء من معادلات ماكسويل
قام ماكسويل بحل هذه المعادلات الأربع للفراغ وتوصل إلى الصلة الوثيقة بين سرعة الموجة الكهرومغناطيسية وبين ثابت العازلية وثابت النفاذية.
يمكن إعادة المعادلات السابقة على افتراض أن الضوء ينتشر في الفراغ حيث لاتوجد أي شحنات كهربائية أي أن http://upload.wikimedia.org/math/9/1...55442d934d.png وhttp://upload.wikimedia.org/math/6/7...46d81357f5.png فتصبح بالصورة
http://upload.wikimedia.org/math/b/e...e92d6cc738.png
http://upload.wikimedia.org/math/5/7...af21502c90.png
http://upload.wikimedia.org/math/5/5...f59a584870.png
http://upload.wikimedia.org/math/2/d...ebdb9d085a.png
لإيجاد معادلة الموجة يجب إيجاد المشتقة الثانية في كل من الزمن والفضاء. بداية بأخذ الالتواء لطرفي المعادلة الثالثة وبتعويض النتيجة في المعادلة الرابعة نجد أن
http://upload.wikimedia.org/math/5/5...d2aaea1ec9.pngمن نظرية تفاضل المتجه، نعلم أن http://upload.wikimedia.org/math/b/b...8c766429a4.png
على هذا الأساس تصبح
http://upload.wikimedia.org/math/4/5...4bf210f504.pngوهذه معادلة موجة في ثلاثة أبعاد، وللتبسيط يمكن دراستها في بعد واحد بالشكل
http://upload.wikimedia.org/math/f/7...06cafa90b8.pngبالبحث عن حل للمعادلة الجيبية، بدلالة السرعة http://upload.wikimedia.org/math/9/e...4664205d2a.png والطول الموجي http://upload.wikimedia.org/math/e/0...851322a6b5.png يفترض أن تكون
http://upload.wikimedia.org/math/3/1...1779be063f.pngبمفاضلة هذه المعادلة مرتين نحصل على
http://upload.wikimedia.org/math/9/9...4c0b7deffb.pngوhttp://upload.wikimedia.org/math/3/0...53a5bb3e80.pngبالتعويض عنها مرة أخرى في معادلة الموجة نجد أنها تمثل حلاً شريطة أن
http://upload.wikimedia.org/math/e/2...a30baef0c7.pngأي أن سرعة الموجة الكهرومغنطيسية هي:
http://upload.wikimedia.org/math/3/6...26cfa89349.png
[عدل]
رد: علم الفيزياء النظرية مفهوم وقواعد ونظريات
تحويل لابلاس
تحويل لابلاس
من ويكيبيديا، الموسوعة الحرة
تحويل لابلاس عملية تجرى على الدوال الرياضية لتحويلها من مجال إلى آخر، وعادة يكون التحويل من مجال الزمن إلى مجال التردد، وهو شبيه بتحويل فوريي إلا أنه تم تطويرهما بشكل مستقل. وتحويل لابلاس مفيد في تحليل النظم الخطية (بخلاف تحويل فوريي الذي يستخدم عادة في تحليل الإشارات)، كما يستخدم لحل المعادلات التفاضلية لأنه يحولها إلى معادلات جبرية. وسمي التحويل بهذا الاسم نسبة إلى العالم الفرنسيلابلاس الذي عاش في القرن التاسع عشر.
[عدل]مقدمة
إذا رمزنا ب t للزمن
واعتبرنا s عددا مركبا
فإن تحويل لابلاس الذي نرمز له هنا ب L هو تبسيطا عملية تحول إشارة أو دالة من دالة بمتغير هو الزمن إلى دالة بمتغير هو التردد.أما الأصح هو أنها مؤثريحول دالة بمتغير قيمته عدد حقيقي إلى دالة بمتغير ذا قيمة معقدة (عدد مركب).
تحويل الدالة من متغير فى الزمن الى دالة فى متغير للمسافة مثلا مثال ذلك تحويل السرعة المتغيرة التى هى دالة فى الزمن إلى دالة فى المسافة تحويل درجة الحرارة من دالة فى الزمن الى دالة فى درجة حرارة المصدر
http://upload.wikimedia.org/math/d/3...4e56924592.png
و دالة التحويل L أي التي تحول دالة بمتغيير هو الزمن إلى دالة بمتغيير هو التردد يمكن حسابها على النحو الآتي:
http://upload.wikimedia.org/math/0/f...ff5d75c1aa.png
و كما يوجد تحويل لابلاس فإنه يوجد تحويل لابلاس معاكس رمزت له هنا ب l وهو يقوم بالتحويل العكسي لتحويل فوريي أي من دالة بمتغير قيمته معقدة إلى دالة بمتغير قيمته حقيقية. ويمكن حساب هذه العملية على النحو التالي:
=http://upload.wikimedia.org/math/9/1...8d619877fb.png
[عدل]بعض الدالات ومقابلها في تحويل لابلاس
[عدل]أهمية وفوائد تحويل لابلاس
[عدل]تسهيل حل المعادلات التفاضلية
فلنعتبر مثلا المعادلة التفاضلية التالية:
http://upload.wikimedia.org/math/f/4...e63137b44a.png
مع اعتبار الحالة أو قيمة x في الزمن 0 أي أخذ ما يسمى بال initial conditions بعين الاعتبار:
http://upload.wikimedia.org/math/7/1...c46672aceb.png وhttp://upload.wikimedia.org/math/b/6...d530fb7970.png
إعطاء الحل مباشرة لهذه المعادلة (التي قد تكون مثلا معادلة جسم يقوم بحركة ما أي أنها نموذج عنه) قد يكون صعبا فما العمل? الحل هو تحويل المعادلة عن طريق تحويل لابلاس فتصير المعادلة كالاتي:
http://upload.wikimedia.org/math/b/f...ca91c0e094.png
و ذلك عملا بالقاعدة التي تقول
و بذلك كل ما تبقى فعله الآن هو حل معادلة غير تفاضلية بسيطة وهي معادلة بولينوم من الدرجة الثانية .
رد: علم الفيزياء النظرية مفهوم وقواعد ونظريات
معادلة لابلاس
معادلة لابلاس
من ويكيبيديا، الموسوعة الحرة
معادلة لابلاس(بالإنكليزية: Laplace’s equation) معادلة تفاضلية جزئية من الدرجة الثانية سميت عرفانا للرياضياتي الفرنسي بيير لابلاس الذي يعد أول من درس خواص هذه المعادلة والتي تأخذ الشكل التالي.
http://upload.wikimedia.org/math/4/0...6c8c9328a2.pngحيث http://upload.wikimedia.org/math/6/5...c7b58b52f4.png تكافئ http://upload.wikimedia.org/math/6/d...19cf492ffd.png وهي رمز مؤثر لابلاس (لابلاسي) فيما http://upload.wikimedia.org/math/3/5...953781cfdb.png تمثل أي دالة رياضيةسلمية. وتعد معادلة لابلاس أبسط المعادلات التفاضلية الجزئية من الدرجة الثانية كما أنها تعد كذلك حالة خاصة من معادلة هلمهولتز (عندما http://upload.wikimedia.org/math/2/2...6096f3b9b2.png). وكذلك تعد حالة خاصة من معادلة بواسون (عندما http://upload.wikimedia.org/math/9/0...5b1611aa74.png). وأي دالة تمثل حلا لمعادلة لابلاس تدعى دالة متوافقة. ظهر أول استعمال لها في الميكانيكا التقليدية ثم تطور استعمالها ووجدت تطبيقات لها في علم الفلكوالكهرباء الساكنةوميكانيكا الموائعومعادلة الحرارةوالانتشاروالحركة البراونية وكذلك ميكانيكا الكم.
[عدل]التعريف
في الأبعاد الثلاثية , وبافتراض أن http://upload.wikimedia.org/math/d/5...accb0539bd.png, دالة بمتغيرات حقيقية x, y, z فإن معادلة تكون على الشكل التالي:
في الإحداثيات الديكارتية
http://upload.wikimedia.org/math/6/8...4f132a9a6f.pngفي الإحداثيات الإسطوانية,
http://upload.wikimedia.org/math/c/c...345897116e.pngفي الإحداثيات الكروية,
http://upload.wikimedia.org/math/9/8...6dd1584bde.pngوتكتب حسب الآتي
http://upload.wikimedia.org/math/4/2...a7c52573c9.pngأو خاصة في سياق أعم:
http://upload.wikimedia.org/math/f/1...fe4288a43f.pngحيث ∆ = ∇² هما مؤثر لابلاس أو "لابلاسي"
http://upload.wikimedia.org/math/8/8...39bb1269b1.pngحيث ∇ ⋅ = div هي التباعد, و∇ = grad يمثل التدرج.
أما إذا كان الطرف الأيمن للمعادلة يحتوي على الدالة f(x, y, z), فإن المعادلة تكتب على الشكل التالي
http://upload.wikimedia.org/math/2/2...b6d869c5a5.pngوهذه هي "معادلة بواسون".
رد: علم الفيزياء النظرية مفهوم وقواعد ونظريات
معادلة لابلاس
معادلة لابلاس
من ويكيبيديا، الموسوعة الحرة
معادلة لابلاس(بالإنكليزية: Laplace’s equation) معادلة تفاضلية جزئية من الدرجة الثانية سميت عرفانا للرياضياتي الفرنسي بيير لابلاس الذي يعد أول من درس خواص هذه المعادلة والتي تأخذ الشكل التالي.
http://upload.wikimedia.org/math/4/0...6c8c9328a2.pngحيث http://upload.wikimedia.org/math/6/5...c7b58b52f4.png تكافئ http://upload.wikimedia.org/math/6/d...19cf492ffd.png وهي رمز مؤثر لابلاس (لابلاسي) فيما http://upload.wikimedia.org/math/3/5...953781cfdb.png تمثل أي دالة رياضيةسلمية. وتعد معادلة لابلاس أبسط المعادلات التفاضلية الجزئية من الدرجة الثانية كما أنها تعد كذلك حالة خاصة من معادلة هلمهولتز (عندما http://upload.wikimedia.org/math/2/2...6096f3b9b2.png). وكذلك تعد حالة خاصة من معادلة بواسون (عندما http://upload.wikimedia.org/math/9/0...5b1611aa74.png). وأي دالة تمثل حلا لمعادلة لابلاس تدعى دالة متوافقة. ظهر أول استعمال لها في الميكانيكا التقليدية ثم تطور استعمالها ووجدت تطبيقات لها في علم الفلكوالكهرباء الساكنةوميكانيكا الموائعومعادلة الحرارةوالانتشاروالحركة البراونية وكذلك ميكانيكا الكم.
[عدل]التعريف
في الأبعاد الثلاثية , وبافتراض أن http://upload.wikimedia.org/math/d/5...accb0539bd.png, دالة بمتغيرات حقيقية x, y, z فإن معادلة تكون على الشكل التالي:
في الإحداثيات الديكارتية
http://upload.wikimedia.org/math/6/8...4f132a9a6f.pngفي الإحداثيات الإسطوانية,
http://upload.wikimedia.org/math/c/c...345897116e.pngفي الإحداثيات الكروية,
http://upload.wikimedia.org/math/9/8...6dd1584bde.pngوتكتب حسب الآتي
http://upload.wikimedia.org/math/4/2...a7c52573c9.pngأو خاصة في سياق أعم:
http://upload.wikimedia.org/math/f/1...fe4288a43f.pngحيث ∆ = ∇² هما مؤثر لابلاس أو "لابلاسي"
http://upload.wikimedia.org/math/8/8...39bb1269b1.pngحيث ∇ ⋅ = div هي التباعد, و∇ = grad يمثل التدرج.
أما إذا كان الطرف الأيمن للمعادلة يحتوي على الدالة f(x, y, z), فإن المعادلة تكتب على الشكل التالي
http://upload.wikimedia.org/math/2/2...b6d869c5a5.pngوهذه هي "معادلة بواسون".
رد: علم الفيزياء النظرية مفهوم وقواعد ونظريات
معادلة جيبس الأساسية
من ويكيبيديا، الموسوعة الحرة
معادلة جيبس الأساسية أو المعادلة الأساسية للترموديناميكا في الفيزياء و الترموديناميكا (بالإنجليزية : fundamental equation of thermodynamics) هي المعادلة الأساسية في الديناميكا الجرارية . وهي تصف عدة من نقاط التوازن التي تحدث في نظام حركة حرارية وهي دالة شاملة لدوال حالة نظام ، مثل الطاقة الداخلية U للنظام و الإنتروبي وغيرها من دوال الحالة Xi. سميت المعادلة باسم صائغها العالم الفيزيائي الألماني جوزيه ويلارد جيبس، وساعدت على استنباطعلاقات ماكسويل . الدالة الأساسية لجيبس كالآتي:
http://upload.wikimedia.org/math/4/4...362b720288.pngبالنسبة إلى نظام مكون من مادة واحدة (غير مغناطيسية) يمكن تبسيط المتغيرات في المعادلة لتقتصر على دوال الحالة:الإنتروبيS و الحجم V و كمية المادة n.
http://upload.wikimedia.org/math/d/f...0f88dd1853.pngكما تمكن استنباط المعادلة ، أيضا للمواد الغير مغناطيسية ، بحيث يحتوي النظام على عدة مواد k مختلفة :
http://upload.wikimedia.org/math/3/2...1a22d5bc1d.pngوفي نفس الوقت يمكن كتابة المعادلة بحيث تعطي الإنتروبي :
http://upload.wikimedia.org/math/b/f...33982b095a.pngكدالة للحرارة الداخلية U والمتغيرات الأخرى.
تحتوي تلك الدالتان على جميع المعلومات الترموديناميكية للنظام . كما تكثر استخداماتها في صورتها التفاضلية :
http://upload.wikimedia.org/math/e/8...9b7acd1dba.pngوتعني الحروف المائلة والقائمة (d وبالتالي d) المشتقات الجزئية وتالفاضل الكامل .
ويمكن الاخذ في الاعتبار المتغيرات ، مثل درجة الحرارة و الضغط و الكمون الكيميائي فتصبح المعادلة :
http://upload.wikimedia.org/math/b/2...2491d92c49.pngومع افتراض أن كمية المادة في النظام ثابتة يمكن تبسيط المعادلة إلى الصيغة:
http://upload.wikimedia.org/math/7/3...d062e95549.pngوهذه هي الصيغة المشهورة لاعتماد تغير الطاقة الداخلية للنظام على التغير في الإنتروبي و تغير الحجم. ومن تلك المعادلات وعن طريق إجراء التفاضل للمرة الثانية تستنبط منها علاقات ماكسويل .
يعطي التفاضل الثاني بعض خصائص مادة النظام ومنها الحرارة النوعية و معامل الانضغاط ومعامل التمدد الحراري.
كما أن تطبيق تحويل ليجاندر على معادلات جيبس الأساسية يمكننا من تعيين الجهد الترموديناميكي و الطاقة الحرة و الإنثالبي وكذلك طاقة جيبس الحرة .
[عدل]بعض الخواص الطبيعية
تساعدنا معادلة جيبس الأساسية على اشتقاق الكثير من خصائص المادة في الترموديماميكا، نذكر هنا بعضا منها :
السعة الحرارية عند حجم ثابت:http://upload.wikimedia.org/math/c/5...508abe351f.png
السعة الحرارية عند ضغط ثابت: http://upload.wikimedia.org/math/0/0...465bcd029c.png
قابلية الانضغاط عند ثبات درجة الحرارة :
http://upload.wikimedia.org/math/6/0...a4ee1a8c28.pngحيث T المكتوبة تحت القوس تعني أن التفاضل يقترن بثبات درجة الحرارة .
قابلية الانضعاط الأديباتي :
http://upload.wikimedia.org/math/9/b...2029539d55.pngحيث S الإنتروبي ويكون ثابتا.
رد: علم الفيزياء النظرية مفهوم وقواعد ونظريات
lمعادلة بيسل
دالة بيسل
من ويكيبيديا، الموسوعة الحرة
في الرياضيات، دوال بسل عبارة عن الحلول القانونية (y(x لمعادلة بسل التفاضلية
http://upload.wikimedia.org/math/5/3...e6426a3c9b.pngمن أجل عدد حقيقي اختياري أو عدد مركب α (رتبة دالة بسل). الحالة الخاصة والأكثر انتشارا هي عندما تكون α عدد صحيح n.
كان الرياضياتي دانييل برنولي أول من عرفها ثم عممت من قبل فريدريش بيسيل.
مع أن α و−α تعطي نفس المعادلة التفاضلية, من المألوف تعريف دوال بسل مختلفة للترتبتين هاتين. تعرف دوال بسل أيضا ب دوال الاسطوانة أوالتوافقيات الاسطوانية لأنها تمثل الحل لمعادلة لابلاس في الإحداثيات الاسطوانية.
[عدل]تطبيقات دالة بيسل
تظهر معادلة بسل عند الحاجة لحلول معادلة لابلاس ومعادلة هيلمتز في الإحداثيات الإسطوانية أو الإحداثيات الكروية. لذا فإن دوال بسل ذات أهمية كبرى في مسائل انتشار الموجة والساكنة.
عند حل مسائل في أنظمة الاحداثيات الاسطوانية، يحصل المرء على دوال بسل ذات رتبة صحيحة (α == n); في الاحداثيات الكروية يحصل على رتب أنصاف أعداد صحيحة (α == n + ½). على سبيل المثال:
موجات كهرومغنطيسية في دليل الموجة الاسطواني.
قانون توصيل الحرارة في جسم اسطواني.
أنماط التذبذب في جسم دائري (حلقي) غشاء صناعي (مثلا طبلة أو أي ممبرانوفون).
مسائل الانتشار على شكل شبكي.
حلول معادلة شرودنجر(في الاحداثيات الكروية) لجسيم طليق.
هناك تطبيقات أخرى لدوال بسل وخواص كما في معالجة الإشارة (مثل اصطناع الإف إم، نافذة كايسر، مرشح بسل).
[عدل]تعاريف
بما أن دالة بسل معادلة تفاضلية، ينبغي أن يكون لها حلين مستقلين خطيا. اعتمادا على الحالات، بالرغم من ذلك، فإن صيغا مختلفة من هذه الحلول تكون مناسبة. فيما يلي وصفا لهذه الأنواع المختلفة.
[عدل]دوال بسل من النوع الأول : Jα
دوال بسل من النوع الأول التي يرمز لها http://upload.wikimedia.org/math/e/d...ba5b400eab.png, هي حلول معادلة بسل التفاضلية التي تكون محدودة عند نقطة الأصل http://upload.wikimedia.org/math/9/a...b71519aab9.png لعدد صحيح غير سالب http://upload.wikimedia.org/math/b/2...59d7aa782a.png, وتتباعد عندما تقترب http://upload.wikimedia.org/math/6/b...f460448467.png من الصفر لعدد صحيح غير سالب http://upload.wikimedia.org/math/b/2...59d7aa782a.png. يعرف نوع الحل (عدد صحيح أم غير صحيح مثلا) وانتظام http://upload.wikimedia.org/math/e/d...ba5b400eab.png بدلالة خواصه (انظر خواص دالة بسل). من الممكن تعريف الدالة من منشورها في متسلسلة تايلور حول http://upload.wikimedia.org/math/a/f...47f3fa93a7.png:
http://upload.wikimedia.org/math/4/2...92e2b598db.pngحيث http://upload.wikimedia.org/math/4/6...fa5b9ac8ee.png هي دالة غاما، تعميم دالة المضروب للقيم الغير صحيحة. يبدو رسم دوال بسل شبيها بدوال الجيب وجيب التمام المتضائلة طرديا مع http://upload.wikimedia.org/math/1/b...423cac51ef.pngمع أن جذورها ليست دورية عموما، سوى لقيم x التي يمكن مقاربتها. تشير متسلسلة تايلور إلى أن http://upload.wikimedia.org/math/6/3...79712e199b.png تمثل مشتقة http://upload.wikimedia.org/math/f/c...9611ca3839.png, تماما مثل http://upload.wikimedia.org/math/8/6...ec2fffba2c.png التي هي مشتقة http://upload.wikimedia.org/math/e/0...44bc728b64.png; وبشكل عام يمكن التعبير عن المشتقة http://upload.wikimedia.org/math/4/8...c9ebbfdf39.png بدلالة http://upload.wikimedia.org/math/6/9...a1c7b9cfcf.png من مطابقات دوال بسل كما هو مبين في الأسفل.
للقيم الغير صحيحة α, تكون الدوال http://upload.wikimedia.org/math/e/d...ba5b400eab.png وhttp://upload.wikimedia.org/math/2/f...2ae4831f1d.png مستقلة خطيا, وتكون بالتالي الحلين العامين للمعادلة التفاضلية. من جهة أخرى، للأعداد الصحيحة http://upload.wikimedia.org/math/b/2...59d7aa782a.png, تكون العلاقة التالية صحيحة (لاحظ أن دالة غاما تصبح لانهائية لحجج الأعداد الصحيحة السالبة):
http://upload.wikimedia.org/math/4/6...9d83303204.pngهذا يعني أن الحلين لم يعودا مستقلين خطيا. في هذه الحالة يكون الحل الاخر المستقل خطيا يكون دوال بسل من النوع الثاني كما هو مناقش في الأسفل.
[عدل]تكاملات بسل
يمكن الحصول على تعريف اخر لدالة بسل، للقيم الصحيحة n، باستعمال الصورة التكاملية:
http://upload.wikimedia.org/math/6/3...57a0d5ef6a.pngلقد كانت هذه هي الطريقة التي استعملها بسل، ومن هذا التعريف اشتق بعض الخصائص. يمكن تعميم التعريف إلى الرتب الغير صحيحة بإضافة حد اخر
http://upload.wikimedia.org/math/0/0...8e3d0ce743.pngهنا صورة تكاملية أخرى:
http://upload.wikimedia.org/math/2/8...ee377438e8.png[عدل]صلتها بالدوال الزائدية الهندسية
[عدل]صلتها بمتعددات حدود لاغيري
[عدل]دوال بسل من النوع الثاني : Yα
[عدل]دوال هانكل: Hα
[عدل]دوال بسل المعدلة : Iα, Kα
[عدل]دوال بسل الكروية : j n, y n
[عدل]علاقات تفاضلية
http://upload.wikimedia.org/math/5/6...5775fbd769.png التالية هي أي من http://upload.wikimedia.org/math/c/9...f5379c80c8.png حيث http://upload.wikimedia.org/math/0/1...4870b155c1.png
http://upload.wikimedia.org/math/7/6...0efe81083e.png[عدل]دوال هانكل الكروية : h n
[عدل]دوال بسل-ريكاتي : http://upload.wikimedia.org/math/0/6...c7a289cb56.png
[عدل]أشكال مقاربة
[عدل]خواص دوال بسل
[عدل]صلتها بتحويل فورييه
[عدل]مبرهنة الضرب
[عدل]فرضية بورغيت
[عدل]مطابقات مختارة
http://upload.wikimedia.org/math/5/9...349abb415d.png
http://upload.wikimedia.org/math/e/8...73bdd84d74.png
http://upload.wikimedia.org/math/d/4...a3ad465dc5.png
http://upload.wikimedia.org/math/d/7...f0c06e5c7f.png
http://upload.wikimedia.org/math/5/e...48ec858259.png
http://upload.wikimedia.org/math/5/4...189bfc6474.png
http://upload.wikimedia.org/math/d/e...6be0cd8fb7.png
http://upload.wikimedia.org/math/e/b...07b5579fd5.png
[عدل]إنظر أيضا
رد: علم الفيزياء النظرية مفهوم وقواعد ونظريات