الهندسة الاقليديه واللاإقليديه

بسم الله الرحمن الرحيم
الهندسة اللاإقليدية متسقة بقدر اتساق الهندسةالإقليدية ؟ اشرح هذه العبارة
شيد إقليدس علم الهندسة بالاستناد إلى خمس مسلماتأشهرها مسلمة التوازي. ما الذي تنص عليه هذه المسلمة ؟
تذهب الصيغة المعدلة لهذهالمسلمة إلى أنه من نقطة خارجة عن مستقيم لا يمكن إنشاء أكثر من مستقيم واحد يوازيالمستقيم الأول. إن هذه الصيغة المعدلة تكافئ الصيغة الأصلية لإقليدس والتي تؤكدأنه إذا قطع مستقيمان مستقيماً ثالثاً وكانت زاويتا تقاطع المستقيمين الداخليتين معالمستقيم الثالث حادتين في إحدى جهتيه, فإن المستقيمين المفترضين يتقاطعان في هذهالجهة, دار جدل تاريخي استغرق قروناً طويلة حول استقلالية مسلمة التوازي عنالمسلمات الأخرى, كان التساؤل المطروح يتعلق بإمكانية استنتاج مسلمة التوازي منالمسلمات الأخرى باعتبار مسلمة التوازي بمثابة نظرية. إذ ذاك تبقى أربع مسلماتمستقلة يمكن أن تشاد هندسة إقليدس عليها, لكن الجدل لم ينتهي ولم يستطيع أي رياضيعبر التاريخ إثبات أو نفي هذا الرأي. وكان أن أقدم لوباتشفسكي في مطلع القرن التاسععشر على استبدال مسلمة التوازي بمسلمة مغايرة تماماً تنص على أنه من نقطة خارجة عنمستقيم يمكن إنشاء موازيين للمستقيم كما يمكن إنشاء عدد لا نهاية له من المستقيماتالتي لا تقطع المستقيم المفترض ولا توازيه. نشأت بذلك هندسة مختلفة تماماً عرفتبهندسة لو باتشفسكي, ولم تمضي أكثر من ثلاثة عقود بعد لوباتشفسكي حين قام ريمانبطرح صيغة مختلفة لمسلمة التوازي حيث تصور ريمان في صيغته أنه يستحيل إنشاء إيموازي لمستقيم معتبر من نقطة خارجة عنه, قد تبدو هندسات إقليدس و لوباتشفسكي وريمانمتناقضة فيما بينها. إن هذا الأمر غير صحيح على الإطلاق فما يهم في أية منظومةرياضية هو الاتساق الداخلي بين مسلمات تلك المنظومة. يعني ذلك ألاَ تؤدي المسلماتإلى برهان صحة نظرية ما وصحة النظرية المعاكسة. إن مسلمات كل هندسة من الهندساتالثلاث متسقة تماماً فيما بينها. لكن ماذا عن علاقة الهندسات الثلاث يبعضها, هليعقل أن تكون إحدى الهندسات صحيحة, بينما الهندستان الباقيتين غير صحيحتين .مرةأخرى تطلعنا الرياضيات على كل ما هو غير متوقع. كي نحكم على صحة هندسة ما يجب أنتكون هناك منظومة تتحقق فيها مسلمات الهندسة ونظرياتها, تقول لنا إحدى النظرياتالمتقدمة إن وجدت منظومة تتحقق فيها هندسة لوباتشفسكي فلا بدَ من وجود منظومة تتحققفيها هندسة إقليدس. كذلك إن وجدت منظومة تتحقق فيها هندسة إقليدس فلا بدَ من وجودمنظومة تتحقق فيها هندسة ريمان, أيضاً إن وجدت منظومة تتحقق فيها هندسة ريمان فلابدَ من وجود منظومة تتحقق فيها هندسة لوباتشفسكي, يعني ذلك أن كل هندسة من الهندساتالثلاثة تؤدي إلى أية هندسة من الهند ستين الأخيرتين. بكلمات أبسط وذات طابع إجماليإن صحة كل هندسة تتوقف على صحة أية هندسة أخرى. إن كل هذه الهندسات التي تبدومتناقضة هي صحيحة في آنَ معاً. نذكر بالمثابة أن المنظومة التي تتحقق فيها هندسةإقليدس هي مجموعة المبرهنات المألوفة فيما ندعوه الهندسة المستوية والهندسةالفراغية والتي تطرح في المنهاج التدريسي للمرحلتين الإعدادية والثانوية.
إنكانت الهندسات الثلاث صحيحة, فهل يمكن أن تشتق هندسة واحدة ؟
يمكن أن تستنتج أيةهندسة انطلاقاً مما يعرف بهندسة الأعداد العقدية, تعتمد في هذه الهندسة الأعدادالعقدية, يتكون العدد العقدي من مركبتين, تتمثل المركبة الأولى بعدد حقيقي منالأعداد الحقيقية التي نعرفها, بينما المركبة الثانية هي عدد حقيقي لكنه يسردكأمثال لوحدة قياس تخيلية هي الجذر الربيعي للعدد –1 تعتبر الدائرة حجر الزاوية فيهذه الهندسة ويعبر عنها بمعادلة في أعداد ومحاصيل عقدية.تربط بهذه المعادلة كميةحقيقية تعرف باسم المميز. إن كلن المميز سالباً كانت الدائرة حقيقية. وإن كانالمميز صفراً كانت الدائرة نقطية. غدا ذلك تكون الدائرة تخيلية. ترتبط كل الدوائرببغضها بما يعرف بتحويلات مويبيوس يمكن ضم دائرتين إلى بعضهما على أن تضرب معادلةكل دائرة بعدد حقيقي للحصول على حزمة من الدوائر ,إن لكل دائرة مميزاً خاصاً بهاكما وأن هناك مميزاً مشتركاً للدائرتين, إذا طرحنا مربع المميز المشترك للدائرتينمن جداء مميزهما نحصل على كمية معيارية تقودنا إلى إحدى الهندسات الثلاث, إن كانتالكمية المعيارية موجبة كانت حزمة الدوائر ناقصة تتقاطع كلها في نقطتين. إن كانتالكمية المعيارية صفراً كانت الحزمة مكافئيه حيث تتماس كل الدوائر في نقطة. أخيراًإن كانت الكية المعيارية سالبة كانت حزمة الدوائر زائدية غير متقاطعة وكانت فيهادائرتان نقطيتان, نعتبر ثلاثة أصناف من تحويلات موبيوس, تترك تحويلات الصنف الأولحزم الدوائر الناقصة دون تغيير إن تركت التحويلات من الصنف الثاني حزم المستقيماتدون تغيير, كانت ساحة تأثيرها المستوي الإقليدي المألوف وقدمت لنا الهندسةالإقليدية, أخيراً نختار تحويلات الصنف الثالث بحيث تترك حزم الدوائر الزائدية دونتغيير, تكون المسافة الداخلية من سطح دائرة هي ساحة تأثير هذه التحويلات التي تعرفبذلك هندسة لوباتشفسكي, نشير أخيراً إلى أن سطح الكرة هو المنظومة التي تتحقق فيهاموضوعات إقليدس والسطح الداخلي للدائرة هو المنظومة حيث تتحقق موضوعاتلوباتشفسكي.
من جهة أخرى
من المعلوم أن مسلمة التوازي تكافئ القول أنه لايمكن أن يسقط على مستقيم (A) من نقطة ما a إلا عمود واحد أو أن مجموع زوايا المثلثيساوي 180 درجة. تقوم هندسة لوباتشيفسكي على مسلمه تقبل بوجود عدد لآمنته منالمستقيمات المارة من نقطة ما a ـ عوضاً عن مستقيم واحد ـ لا تتقاطع مع المستقيم A وتسمى موازياً لـ A المستقيم المار من النقطة a الذي يصنع مع العمود على A زاويةولنسمها (q). تبقي كل تعار يف وموضوعات أو مسلمات الهندسة الإقليدية قائمة وتنشأعلى هذا النحو هندسة متسقة،لا تناقض فيها، لا تقل اتساقاً عن الهندسة الإقليديةيبرهن في نظرية لوباتشيفسكي أن قيمة الزاوية q تتغير بتغير المسافة الفاصلة بينالنقطةa والمستقيم A وأنها تصبح مساوية لـ 90 درجة عندما تنتهي هذه المسافة إلىالصفر. أي أن الهندسة الإقليدية تقريب لهندسة لوباتشيفسكي من أجل المسافات الصغيرةجداً، ومن جهة أخرى فإن مجموع زوايا المثلث في هذه الهندسة أقل بقليل من 180درجة.
وهناك هندسة أخرى، الهندسة الريمانية، نقيضه لهندسة لوباتشيفسكي بمعنىأنها لا تقبل بوجود أي مستقيم مار من نقطة a لا يلتقي مع المستقيم A : تتلاقى كلالمستقيمات ولا معنى للتوازي في هذه النظرية، أما مجموع زوايا المثلث فهي أكبربقليل من 180 درجة. إن المكان الزمان في الكون هو فضاء ريماني متري ذو أربعة أبعادو متحدب خلافاً لفضاء مينوفسكي المنبسط. تتوقف قيمة التحدث في منطقة ما من الفضاء،الانحناء بالنسبة لفضاء منبسط، على الكتل الموجودة في هذه المنطقة أي أن التحدبيقيس في واقع الأمر الجاذبية الكونية ـ التثاقل ـ بين هذه الكتل، كان كثيرون منالذين عملوا في مجال الهندسة يحلمون على غرار لوباتشيفسكي مثل غاوس بنظرية هندسيةتنطبق على الفضاء الفيزيائي ولكن تطبيق الهندسة الريمانية تحديدا ًعلى الواقعالفيزيائي لم يتأت إلا على يد أينشتاين في نظرية النسبية العام عام 1915 بعد أكثرمن سبعين عاما ًعلى نشوء الهندسية الريمانية. وجمعت هذه النظرية المكان والزمانوالمادة (تحدب الفضاء) في هيكلة هندسية واحدة، وقد أيدت كل الأرصاد صحة هذه النظريةوعززتها كل تكنولوجيات غزو الفضاء التي بدأت قبل حوالي خمسة عقود.