علاقة عدم التأكد المعممة The Generalized Uncertainty Principle !!!

بسم الله الرحمن الرحيم

الحمد لله الذي صدق وعده، ونصر عبده، وأعز جنده، وهزم الأحزاب وحده، والصلاة السلام على من لا نبي بعده، رسوله الذي هدى به الأنام، وكشف به شبهات الأوهام، وعلى آله الطيبين الأطهار، وأصحابه المجاهدين الأبرار، الذين أغاظ الله بهم الكفار، وبسط بهم رحمته في جميع الأقطار

أما بعد:

فهذا إشتقاق لمبدأ عدم التأكد المعمم على أي زوج من المؤثرات !

*** ملحوظة هامة جداً كالعادة ... هذا الموضوع حصري لـ "منتدى الفيزياء التعليمي" فقط، غير ذلك سيكون واضعه سارقاً له !!!

وحتى لا أطُيل عليكم ... مع

علاقة عدم التأكد المعممة
The Generalized Uncertainty Principle

تعرض كل دارس لميكانيكا الكم لـ "مبدأ عدم التأكد Uncertainty Principle" الشهير لـ "هايزنبرج Heisenberg" والذي يربط مقدار الشك الحاصل في كمية التحرك momentum بذاك الخاص بالموضع position من خلال العلاقة:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?...hbar%7D%7B2%7D

والآن ... سنعمل على تعميم هذه العلاقة لأي زوج من المؤثرات operators، وليكن المؤثران http://latex.codecogs.com/gif.latex?A,B !

وقبل أن نبدأ، نُذكِر بأن القيمة المتوقعة expectation value أو المتوسط mean لمؤثرٍ ما، وليكن المؤثر http://latex.codecogs.com/gif.latex?O ، يأخذ بإستخدام ’’أقواس ديراك Dirac‘‘ الصورة التالية:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?...pace;%5Crangle

ومن دراسة الإحصاء، نجد أن الإنحراف المعياري standard deviation أو عدم التاكد أو الشك للمؤثر يُعطى من العلاقة:

مقدار الشك = الجذر التربيعي لمتوسط مربع الفرق بين القيمة ومتوسطها

وللمؤثران المعنيان، يكون مربع الشك هو:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?...pace;%5Crangle

http://latex.codecogs.com/gif.latex?...pace;%5Crangle

لاحظ أن الطرف الأيمن عبارة عن "القيمة المتوقعة" لما في داخله ! الأمر الذي يُمكننا من كتابته على الصورة:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?...pace;%5Crangle

http://latex.codecogs.com/gif.latex?...pace;%5Crangle

لاحظ مرة ثانية "التربيع" الموجود، لذا يمكن كتابتها مرة أخرى بالصورة:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?...e;%5Crangle%7D

http://latex.codecogs.com/gif.latex?...e;%5Crangle%7D

والآن ... نستطيع بكل سهولة أن نفرض الدالة الموجية الـ ket في الصورة:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?...e;%5Crangle%7D

ومنها نجد أنّ مقابلها المزدوج الـ bra هو:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?...;%29&space;%7D

أي أن:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?...&space;%281%29

بالمثل مع المؤثر الآخر ... لنجد أن:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?...e;%5Crangle%7D

ومنها نجد أنّ مقابلها المزدوج الـ bra هو:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?...;%29&space;%7D

أي أن:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?...&space;%282%29

يُتبع ...

***

بضرب المعادلتين (1) و (2)، نجد أن:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?...&space;%283%29

ولكن من "متباينة كوشي – شفارتز Cauchy–Schwarz inequality"، نجد أن:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?...;%7C%5E%7B2%7D


Cauchy–Schwarz inequality - From Wikipedia, the free encyclopedia

وأيضاً من جبر الأعداد المركبة complex numbers، نجد أن:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?...&space;%284%29

ومن نفس الجبر، نجد أنه لأي عدد مركب z يكون:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?...z%29%5E%7B2%7D

حيث:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?...%7D%7D%7B2i%7D

إذن:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?...;%29%5E%7B2%7D

وعليه يُصبح:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?...;%29%5E%7B2%7D

أو:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?...;%29%5E%7B2%7D

وبأخذ الجذر التربيعي، نحصل على العلاقة:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?...&space;%285%29

يُتبع ...

***

والآن سنعمل على إيجاد قيمة كل حد من الطرف الأيمن على النحو التالي:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?...e;%5Crangle%7D

أي:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?...pace;%5Crangle

أو:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?...pace;%5Crangle

وهنا يجب التذكِرة بأن القيمة المتوقعة هي قيمة ""ثابته (يعني "عدد")""، مما يجعلها تخرج خلال عمليات التفاضل !

وعليه، نجد أن:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?...space;%5Cquad,


http://latex.codecogs.com/gif.latex?...space;%5Cquad,


http://latex.codecogs.com/gif.latex?...space;%5Cquad,


http://latex.codecogs.com/gif.latex?...pace;%5Crangle

حيث:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?...pace;%5Crangle

إذن:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?...&space;%286%29

وبالمثل مع الحد الآخر، لنجد أن:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?...&space;%287%29

وهذا تمرين بسيط !

والآن نعوض في المعادلة رقم (5):

http://latex.codecogs.com/gif.latex?...gle%7D%7B2i%7D

إذن:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?...ce;%7D%7B2i%7D

أو:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?...ce;%7D%7B2i%7D

وهي العلاقة المطلوبة، حيث:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?...&space;]=AB-BA

هي معادلة التبادلية commutator للمؤثرين !

هذا ... والله أعلى وأعلم

وآخر دعوانا أن الحمد لله رب العالمين
وصلِّ اللهم وبارك على نبي الرحمة سيد ولد أدم أبى القاسم "محمد بن عبد الله" وعلى آله الطيبين الطاهرين وعلى أصحابه الغر الميامين أجمعين وسلم تسليماً كثيراً
لا تنسونا من صالح دعائكم

بسم الله ماشاء الله يارجب

بجد تسلم اياديك ... مجهود رائع وكبييييييييييييير

اتذكر أننا أخذنا فقط المعادلة الأخيرة فقط مباشرة

ولم أكن أعلم أن إثباتها بهذه الصورة

بارك الله فيك .. وزادك علماً ... ونفع بك الأمة

وكل عام وانت بخير

مع وافر احترامي وتقديري

اقتباس:

---

المشاركة الأصلية كتبت بواسطة محمد عريف

بسم الله ماشاء الله يارجب

بجد تسلم اياديك ... مجهود رائع وكبييييييييييييير

اتذكر أننا أخذنا فقط المعادلة الأخيرة فقط مباشرة

ولم أكن أعلم أن إثباتها بهذه الصورة

بارك الله فيك .. وزادك علماً ... ونفع بك الأمة

وكل عام وانت بخير

مع وافر احترامي وتقديري

---

أهلاً ومرحباً ... أخي وحبيب قلبي محمد باشا عريف

في أمان الله

الله يبارك فيكم ويجزيكم كل خير