مساعدة في استنتاج المعادلة الحرارية

السلام عليكم
لوسمحتوا ممكن مساعدة طالبة منا الدكتورة استنتاج المعادلة الحرارية لقضيب طوله a والموجيةلسلك كمثال على معادلة تفاضلية جزئية ولم استطيع لاني طالبة في قسم الرياضيات

السلام عليكم ورحمة الله

هذه أول مشاركة لي هنا وأرجو الله أن يوفقني وإياكم،

الحرارة مرتبطة بمتغيرين : الزمن والمكان، لذلك لا يمكن أن تكون المعادلة التفاضلية في حالتنا هذه إلا جزئية، وهي التي تسمى بمعادلة الحرارة :

نبدأ بقوانون فوريي الذي يقول :

J = K*grad(T)

حيث K ثابت مرتبط بالمادة، و J هي الكثافة الحرارية و T هي درجة الحرارة

ونستنتج أنّ :

J = -K*dT/dx

لأن الحرارة لا ترتبط مكانيا إلا بالمتغير x في الحالة أحادية الأبعاد

ومنه نستنتج أن

A*d²T/dx² - dT/dt=0

وهذه هي المعادلة التفاضلية الحرارية للقضيب.