مشاركة: مسائل وحلول - جبر للمرحلة الثانوية
نعلم أن معادلة الدرجه الثانيه فى متغير واحد هى :
أس^2 + ب س + جـ = 0 ، أ=/= 0
أثبت أن هذه المعادله يمكن كتابتها على الصوره :
س^2 - ( مجموع الجذرين) س + حاصل ضربهما = 0
أس^2 + ب س + جـ = 0
بالقسمة على أ
س^2 + (ب/أ)*س + (ج/أ) = 0 ..................(1)
نفرض أن جذرى المعادلة هما : ل ، ع
(س _ ل)*(س - ع) = 0
س^2 - ل*س - ع*س + ل*ع = 0
س^2 - (ل + ع)*س + ل*ع = 0 ...................(2)
من (1) ، (2)
ب/ا = - (ل + ع) = - (مجموع جذرى المعادلة)
ج/أ = ل*ع = حاصل ضرب جذرى المعادلة
فتكون المعادلة على الصورة :
س^2 - (مجموع الجذرين)* س + (حاصل ضرب الجذرين) = 0
مشاركة: مسائل وحلول - جبر للمرحلة الثانوية
إذا كان أ ، ب ، جـ تكون متوالية عددية
وكان : أ ، س ، ص ، جـ تكون متوالية هندسية
إثبت أن : س^3 + ص^3 = 2 ب س ص
2 ب = أ + ج
س*ص = أ*ج
2 ب*س*ص = أ*ج (أ + ج) = ج*أ^2 + أ*ج^2
فى المتوالية الهندسية :
نفرض أن : س = أ*ر ، ص = أ*ر^2 ، ج = أ*ر^3
س^3 + ص^3 = أ^3 × ر^3 + أ^3 × ر^6
= [أ^2 × أ ر^3] + [أ × (أ ر^3 )^2] = ج*أ^2 + أ*ج^2
= 2 ب*س*ص
مشاركة: مسائل وحلول - جبر للمرحلة الثانوية
إذا كان : ل^2 ، م ^2 ، م^4 - ل^2
في تتابع هندسي فأثبت أن م^2 > 2
م^2 هو الوسط الهندسى للعددين ل^2 ، (م^4 - ل^2)
الوسط الحسابى = 1/2*(ل^2 + م^4 - ل^2) = 1/2*م^4
الوسط الحسابى > الوسط الهندسى
(للأعداد الموجبة)
وحيث أن الأعداد هى مربعات أعداد ، فتكون موجبة وينطبق عليها متفاوتة العلاقة بين الوسط الحسابى والوسط الهندسى
إذن :
1/2*م^4 > م^2
م^2 > 2
مشاركة: مسائل وحلول - جبر للمرحلة الثانوية
إذا كانت 3 أ ، 3 ب - أ ، 2 ب في تتابع حسابي
فأثبت أن : أ^2 + 9 ب^2 > 12 أ ب
بشرط أن يكون كل من : 3 أ ، 2 ب أعداد موجبة
فيمكن تطبيق متفاوتة العلاقة بين الوسط الحسابى والوسط الهندسى لهما
الوسط الحسابى > الوسط الهندسى
3 ب - أ > جذر(6*أ*ب)
بالتربيع لكلا الطرفين
أ^2 + 9 ب^2 - 6*أ*ب > 6*أ*ب
أ^2 + 9 ب^2 > 12 أ*ب
مشاركة: مسائل وحلول - جبر للمرحلة الثانوية
سار قطار 300 كم متر بسرعة منتظمة لو انها زادت خمسة كيلومترات في الساعة لنقص الزمن الذي استغرقه ساعتين .فما سرعة القطار؟
نفرض أن السرعة المنتظمة = ع كم/ساعة
والزمن المستغرق = ن ساعة
المسافة المقطوعة = السرعة المنتظمة × الزمن المستغرق
300 = ع × ن ...... ، ومنها : ن = 300 / ع
300 = (ع + 5)(ن - 2) = (ع + 5)(300/ع - 2)
ع^2 + 5 ع - 750 = 0
(ع - 25)(ع + 30) = 0
حيث السرعة المنتظمة فى اتجاه المسافة (قيمة موجبة)
سرعة القطار = 25 كم/س
مشاركة: مسائل وحلول - جبر للمرحلة الثانوية
باع رجل حصانا بمبلغ 72 جنيها فوجد ان خسارته في المائة تساوي 1/8 عدد الجنيهات التي دفعها ثمنا للحصان .فبكم اشتري الحصان ؟
نفرض أن ثمن الشراء = س جنيها
قيمة الخسارة بالجنيه ( مع إهمال الاشارة السالبة ) = ثمن الشراء - قيمة البيع = س - 72 جنيها
النسبة المئوية للخسارة = [( قيمة الخسارة ) ÷ ( ثمن الشراء )] × 100 = [(س - 72)/(س)]×100
وهى تساوى 1/8 * ثمن الشراء
إذن :
[(س - 72)/(س)]×100 = س/8
س^2 - 800 س + 800×72 = 0
(س - 80)(س - 720) = 0
س = 80 أو س = 720
والقيمتان تحققان الشروط
وبالرغم من زيادة قيمة الخسارة بالجنيه عندما يكون ثمن الشراء 720 جنيه حيث = 720 - 72 = 648 جنيه
إلا أنه منطقى فقد يكون الحصان المباع مريضا أو هزيلا ففقد نفعه ، وتم بيعه لحديقة الحيوان لاطعام السباع مثلا .
أما عن ثمن الشراء بمبلغ 80 جنيه فهو لا يتناسب مع السعر المتداول بالسوق ، وقد يجوز أن يكون بأسعار منذ 30 عاما فأكثر
والله أعلم
مشاركة: مسائل وحلول - جبر للمرحلة الثانوية
حوض يمكن ان تملأه حنفيتان في 100/3 من الدقائق فاذا كانت الحنفية الكبري تملأ الحوض في زمن اقل مما تملؤه فيه الصغري بمقدار 15 دقيقة .فما مقدار الزمن الذي تملأ كل منهما فيه الحوض بمفردها؟
نفرض أن :
حجم الحوض = (ح) لتر
معدل الملأ للحنفية الكبرى = (ك1) لتر/دقيقة
معدل الملأ للحنفية الصغرى = (ك2) لتر/دقيقة
الزمن اللآزم لملأ الحوض بالحنفية الكبرى منفردة = ن1 دقيقة = ح/ك1 ... ، ومنها : ك1 = ح/ن1
الزمن اللآزم لملأ الحوض بالحنفية الصغرى منفردة = ن2 = ح/ك2 دقيقة ... ، ومنها : ك2 = ح/ن2
ن1 = ن2 - 15
الزمن اللآزم لملأ الحوض بكلتا الحنفيتان فى نفس الوقت = 100/3 دقيقة = ح/(ك1 + ك2)
100/3 = ح/[(ح/ن1) + (ح/ن2)] = (ن1 × ن2) ÷ (ن1 + ن2)
3×ن1×ن2 = 100×ن1 + 100×ن2
3×(ن2 - 15)×ن2 = 100×(ن2 - 15) + 100×ن2
3(ن2)^2 - 45(ن2) = 100(ن2) - 1500 + 100(ن2)
3(ن2)^2 - 245(ن2) + 1500 = 0
باستخدام القانون العام لحل معادلة الدرجة الثانية فى مجهول واحد ، ينتج :
ن2 75 دقيقة أو ن2 = 20/3 دقيقة
عند ن2 = 75 ـــــــ> ن1 = 75 - 15 = 60 دقيقة
عند ن2 = 20/3 ـــــ> ن1 = 20/3 - 15 = - 25/3 ( مرفوضة)
ويكون :
زمن ملأ الحوض بالحنفية الكبرى منفردة = 60 دقيقة
زمن ملأ الحوض بالحنفية الصغرى منفردة = 75 دقيقة
للتحقق :
زمن ملأ الحوض بالحنفيتان سويا = (60×75) ÷ (60 + 75) = 100/3 دقيقة