الحرارة النوعية ونموذجي أينشتاين وديباي ... ج (2) !!!
بسم الله الرحمن الرحيم
الحمد لله الذي صدق وعده، ونصر عبده، وأعز جنده، وهزم الأحزاب وحده، والصلاة السلام على من لا نبي بعده، رسوله الذي هدى به الأنام، وكشف به شبهات الأوهام، وعلى آله الطيبين الأطهار، وأصحابه المجاهدين الأبرار، الذين أغاظ الله بهم الكفار، وبسط بهم رحمته في جميع الأقطار
أما بعد:
نضع الآن بعون الله الجزء الثاني من موضوع
الحرارة النوعية ونموذجي أينشتاين وديباي !
Specific Heat and the Models of Einstein and Debye !
*** ملحوظة هامة جداً كالعادة ... هذا الموضوع حصري لـ "منتدى الفيزياء التعليمي" فقط، غير هذا سيكون واضعه سارقاً له !!!
وحتى لا أطُيل عليكم ... مع
نموذج "ديباي" (The Debye Model) !
أُفترض في نموذج أينشتاين أن كل ذرة تتذبذب أو تهتز بمعزل (أو مستقلة) عن الذرات الأخرى المجاورة ! ولكن، في الحقيقة، فكرة الإستقلالية هذه ليست صائبة، وذلك لأن الذرات تتفاعل مع بعضها البعض وبالتالي حركة ذرة واحدة ستؤثر بالتأكيد في جيرانها ! وحركة هؤلاء ستؤثر أيضاً في جيرانهم وهكذا ...
وعليه فإن حركة ذرة واحدة في أي مكان من الجسم الصلب سيكون لها تأثير على كل الذرات الموجودة، وبالتالي علينا أن نأخذ حركة البللورة الشبيكة (lattice) ككل في الإعتبار، وليس ذرة واحدة منفردة ! أي أن نعتبر الأنماط الجماعية للبللورة (collective lattice modes) !
والمثال الأكثر شيوعاً لمثل هذه الأنماط هو "موجات الصوت في الجوامد (sound waves in solids)". فعندما تنتشر موجات الصوت في الجوامد، فإن الذرات لا تهتز منفردة ومستقلة عن بعضها البعض، بل تنسجم حركتها في نظام معين يجعلها جميعاً تتحرك بنفس السعة وبنفس الطور !
وحساب الحرارة النوعية تبعاً لنموذج ديباي يتم على النحو التالي:
لإيجاد طاقة الإهتزاز، يجب أن نُلاحظ أن كل نمط من الأنماط المذكورة قبل قليل يُكافئ متذبذب توافقي واحد فقط متوسط طاقته تُعطى من المعادلة (5) وهي:
وعليه ستكون الطاقة الكلية للإهتزازة للبللورة ككل هي:
وهنا سيكون التكامل على كل الترددات الممكنة ! وأيضاً، http://latex.codecogs.com/gif.latex?g%28%5Comega%29 هي دالة "كثافة الحالات (density-of-states)" الكلية التي تُعطى من العلاقة:
(وهذه العلاقة تُشتق بطريقة مشابهه لأختها في موضوع إشعاع الجسم الأسود، في مقدمة المشاركة الثانية هنــــا والمُمثلة بالرمز http://latex.codecogs.com/gif.latex?N%28%5Comega%29 ).
وفيها http://latex.codecogs.com/gif.latex?v_%7Bs%7Dهي سرعة الصوت، و http://latex.codecogs.com/gif.latex?V هو حجم العينة تحت الدراسة.
ملحوظة ... تم التعويض بهذه القيمة لدالة الكثافة، لأنه في نموذج ديباي تتذبذب أو تهتز البللورة كوسط مستمر أو متصل (continuous medium) !
والمعادلة (10) جائت من خلال ملاحظة أن المقدار http://latex.codecogs.com/gif.latex?...ga%29d%5Comega هو عبارة عن عدد الأنماط في الحيز الترددي http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Comega و http://latex.codecogs.com/gif.latex?...plus;d%5Comega ، طاقة أيُها مساوية لـ http://latex.codecogs.com/gif.latex?...%28%5Comega%29 .
وبمعنى آخر ... سنُعامل هذه البللورة المهتزة كمجموعة من الأنماط الجماعية (a set of collective modes) التي تهتز (أي المجموعة) بصورة مستقلة عن المجموعات الأُخرى !
ولتوضيح الجملة الأخيرة ... نقول أننا سنعالج هذه الأنماط مستقلة عن بعضها البعض (أي مجموعات الأنماط)، ولكن الذرات نفسها يجب أن تتفاعل مع بعضها ! وهكذا موجتان من موجات الصوت ربما تنتشران في الجسم الصلب بصورة منفردة ! ولكن الذرات تتفاعل فيما بينها لكل موجة وذلك حتى تنتشر هذه الموجة !
يُتبع ...
رد: الحرارة النوعية ونموذجي أينشتاين وديباي ... ج (2) !!!
***
والآن ... لحساب التكامل (10)، نعوض بالقيمة المقابلة للدوال الموجودة بالتكامل، أي:
وقبل عملية حساب هذه التكامل، ييجب أولاً أن نُعين حدود هذا االتكامل، أي أقل وأكبر قيمة للتردد ! فأقل قيمة ممكنه للتردد هي، بكل وضوح، الصفر، أما أعلى قيمة فتحددت بواسطة ديباي وذلك بفرضه أن العدد الكلي (total number) للأنماط الموجودة يجب أن تساوي عدد درجات الحرية (degrees of freedom) للجسم الصلب ككل !
وحيث أن هذا العدد يساوي http://latex.codecogs.com/gif.latex?3N_%7BA%7D ، لأن كل ذرة لها ثلاث درجات من الحرية، لذا فإن الفرض السابق يمكن كتابته بدلالة كثافة الحالات على النحو التالي:
وحل هذا التكامل بسيط وهو:
ومنها:
أو:
حيث http://latex.codecogs.com/gif.latex?n=N_%7BA%7D/V هي تركيز الذرات في العينة (الجسم الصلب) !
وفي سلسلة العلاقات السابقة، يُعرف تردد القطع (cutoff frequency) http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Comega_%7BD%7D بـ "تردد ديباي (Debye frequency)".
والشكل التالي يُوضح بيانياً السلوك الذي من خلاله يُنجز هذا الإنقطاع في التردد، والمنطقة المظللة تساوي عدد الأنماط والتي هي http://latex.codecogs.com/gif.latex?3N_%7BA%7D !
يُتبع ...
رد: الحرارة النوعية ونموذجي أينشتاين وديباي ... ج (2) !!!
***
وبالعودة لمعادلتنا الأساسية، وهي معادلة الطاقة الكلية رقم (12)، ووضع حدود التكامل، نجد أن:
وبتفاضلها بالنسبة لدرجة الحرارة (لاحظ درجة الحرارة وليس التردد) نحصل على معادلة الحرارة النوعية التالية:
وبإعادة الترتيب ...
ولإيجاد حل للتكامل السابق، سنضع:
إذاً ...
أو:
لكن:
وبالتعويض وإجراء مجموعة من الإختصارات البسيطة (تمرين)، نحصل على ...
والآن ... دعونا نقدم الإختصار التالي:
إذاً ...
ولكن:
إذاً ...
وهذه هي الحرارة النوعية كما تُعطى من نموذج ديباي ! ...
يُتبع ...
رد: الحرارة النوعية ونموذجي أينشتاين وديباي ... ج (2) !!!
***
والآن سندرس سلوك هذه المعادلة عند الحدود المفروضة لدرجات الحرارة (المرتفعة والمنخفضة)، وذلك على النحو التالي:
1 – عند درجات الحرارة المرتفعة، http://latex.codecogs.com/gif.latex?...Ctheta_%7BD%7D ، وبالتالي تكون النهاية العليا صغيرة جداً، وعليه تكون قيمة http://latex.codecogs.com/gif.latex?x في التكامل صغيرة خلال المدى الكامل، الأمر الذي يُمكننا من إستخدام المفكوك أو التقريب التالي:
وعليه سيصبح التكامل على الصورة:
وبالتالي ستكون الحرارة النوعية هي:
أو:
وهذه هي النتيجة الكلاسيكية المعتادة التي تتفق وقانون "بيتيت ودلونج" !
2 – عند درجات الحرارة المنخفضة، فالأمر أكثر إثارة ! فهنا http://latex.codecogs.com/gif.latex?...Ctheta_%7BD%7D ، وعليه سيقترب الحد العلوي للتكامل من اللانهاية، وعليه نحصل على تكامل يمكن حسابه رياضياً، أي:
وبالتالي ستأخذ الحرارة النوعية الصورة التالية:
أو:
وهذا ما يُبين الإعتماد على الأس الثالث لدرجة الحرارة المطلقة، الذي أشرنا إليه سابقاً ! مما يعني أنه عند درجات الحرارة المنخفضة يوجد، فقط، عدد قليل من الأنماط هو المُثار (excited).
هذه الأنماط هي التي طاقتها الكمية http://latex.codecogs.com/gif.latex?...space;%5Comega أقل من الطاقة الحرارية http://latex.codecogs.com/gif.latex?kT !
سبب فشل نموذج أينشتاين عند درجات الحرارة المنخفضة أصبح واضحاً الآن ! فهذا النموذج تجاهل وجود الأنماط ذات التردد الضعيف جداً (طويل الطول الموجي) التي تستطيع أن تمتص الحرارة حتى عند درجات الحرارة المنخفضة، لأن الطاقة المكممة لمثل هذه الأنماط صغيرة جداً !
والشكل التالي يُبين نموذج ديباي مقابل نموذج أينشتاين، والذي يوضح الحرارة النوعية كدالة في درجة الحرارة !
وختاماً ... على الرغم من النجاح الكبير الذي حققه نموذج ديباي، إلا أنه أيضاً يبقى في النهاية كتقريب !
تم بحمد الله وتوفيقه تعالى
المصادر:
Elementary Solid State Physics - M. Ali Omar
Debye model - From Wikipedia, the free encyclopedia
وآخر دعوانا أن الحمد لله رب العالمين
وصلِّ اللهم وبارك على نبي الرحمة سيد ولد أدم أبى القاسم "محمد بن عبد الله" وعلى آله الطيبين الطاهرين وعلى أصحابه الغر الميامين أجمعين وسلم تسليماً كثيراً
لا تنسونا من صالح دعائكم
رد: الحرارة النوعية ونموذجي أينشتاين وديباي ... ج (2) !!!
اشكرك اخي العزيز الغالي رجب على طرحك الرائع جداً واسلوبك الممتع
بارك الله فيك وجزاك كل خير وزادك علماً و حكمة
رد: الحرارة النوعية ونموذجي أينشتاين وديباي ... ج (2) !!!
اقتباس:
المشاركة الأصلية كتبت بواسطة الصادق
اشكرك اخي العزيز الغالي رجب على طرحك الرائع جداً واسلوبك الممتع
بارك الله فيك وجزاك كل خير وزادك علماً و حكمة
سأكرر ما أقوله دائماً ... جزاك الله خير الجزاء أخي وأستاذي الغالي / الصادق ... فمهما فعلنا أو قدمنا لن نساويك يا أستاذي ...
فـ بارك الله فيك وجزاك كل خير وزادك علماً وحكمة
ونحن نتعلم منكم ... ومروركم على أيٍ من مواضيعنا المتواضعة يزيدنا شرفاً !
في أمان الله ...
رد: الحرارة النوعية ونموذجي أينشتاين وديباي ... ج (2) !!!
جزاك الله كل خير استاذنا الفاضل.....
بارك الله فيك ونفع بك الامة الاسلامية, وزادك علما ونورا وحكمة....
جعل كل ذلك في ميزان حسناتك يوم القيامة, وحشرك مع الانبياء والشهداء والصديقين...
صل على حبيبك المصطفى....
