المساعد الشخصي الرقمي

مشاهدة النسخة كاملة : قيمة المميزة للمؤثر الهيرميتي حقيقيه



k2010
12-02-2010, 12:56 AM
السلام عليكم
أرجوا الاجابة علي هذا السؤال في أسرع وقت.
Q- أثبت أن القيمة المميزة للمؤثر الذي له الخاصية الهرميتية تكون دائما حقيقة ؟
و لكم جزيل الشكر و التقدير.

الصادق
12-02-2010, 05:41 AM
اعتبر مؤثر A له متجه ket ذاتي مُطبع normalized http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cfn_cm%20%5C120dpi%20%7 C%5Cpsi%5Crangle وقيمة ذاتيه a ، وتعطى معادلة القيمة الذاتية له بالصورة التالية:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cfn_cm%20%5C150dpi%20%5 Chat%7BA%7D%7C%5Cpsi%5Crangle=a%7C% 5Cpsi%5Crangle%5Cqquad%20%281%29

بأخذ المرافق الهيرميتي (المرافق الذي يحول متجه الـ ket الى متجه bra ويحول الاعداد المركبة الى مرافقتها المركبة ) لطرفي المعادلة (1) نحصل على

http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cfn_cm%20%5C150dpi%20%5 C%5C%28%5Chat%7BA%7D%7C%5Cpsi%5Cran gle%29%5E%7B%5Cdagger%7D=%28a%7C%5C psi%5Crangle%29%5E%7B%5Cdagger%7D%5 C%5C%5C%5C%20%5Clangle%20%5Cpsi%7C% 20%5Chat%7BA%7D%5E%7B%5Cdagger%7D=a %5E*%5Clangle%20%5Cpsi%7C%5Cqquad%2 82%29

بضرب المعادلة (1) في http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cfn_cm%20%5C120dpi%20%5 Clangle%20%5Cpsi%7C من جهة اليسار نجد ان

http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cfn_cm%20%5C150dpi%20%5 Clangle%20%5Cpsi%7C%5Chat%7BA%7D%7C %5Cpsi%5Crangle=a%5Clangle%20%5Cpsi %7C%5Cpsi%5Crangle%20%5Cqquad%283%2 9
وبضرب المعادلة (2) في http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cfn_cm%20%5C120dpi%20%7 C%5Cpsi%5Crangle من جهة اليمين نحصل على

http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cfn_cm%20%5C150dpi%20%5 Clangle%20%5Cpsi%7C%5Chat%7BA%7D%5E %7B%5Cdagger%7D%7C%5Cpsi%5Crangle=a %5E*%5Clangle%20%5Cpsi%7C%5Cpsi%5Cr angle%20%5Cqquad%284%29

الان اذا طرحنا المعادلة (4) من المعادلة (3) فسوف نحصل على

http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cfn_cm%20%5C150dpi%20%5 Clangle%20%5Cpsi%7C%28%5Chat%7BA%7D-%5Chat%7BA%7D%5E%7B%5Cdagger%7D%29% 7C%5Cpsi%5Crangle=%28a-a%5E*%29%5Clangle%20%5Cpsi%7C%5Cpsi %5Crangle%20%5Cqquad%285%29

واذا كان A مؤثر هيرميتي فانه يحُقق http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cfn_cm%20%5C120dpi%20%5 Chat%7BA%7D%5E%7B%5Cdagger%7D=%5Cha t%7BA%7D ولذلك وبالتعويض في المعادلة (5) فإننا نحصل على

http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cfn_cm%20%5C150dpi%200= %28a-a%5E*%29%5Clangle%20%5Cpsi%7C%5Cpsi %5Crangle

وطالما ان متجه الحالة الذاتية هو متجه مُطبع اي يُحقق علاقة التطبيع http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cfn_cm%20%5C120dpi%20%5 Clangle%20%5Cpsi%7C%5Cpsi%5Crangle% 20=1 فان المعادلة الاخيرة تصبح

http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cfn_cm%20%5C150dpi%20%5 C%5Ca-a%5E*=0%5C%5C%20%5CRightarrow%20a%5 E*=a%5C%5C%20%5Ctherefore%20%5C**** %7Ba%20is%20a%20real%20eigenvalue%7 D%20%5Cqquad%20%7B%5Ccolor%7Bred%7D %20%5Csquare%20%7D

وعليه فان القيمة الذاتية a للمؤثر الهيرميتي A هي قيمة حقيقية

هذا والله تعالى اعلم

الصادق
12-02-2010, 06:04 AM
http://www.hazemsakeek.com/vb/%3Ca%20href=http://www.0zz0.com%20target=_blank%3E[img]http://www2.0zz0.com/2010/12/02/03/883984509.jpghttp://www2.0zz0.com/2010/12/02/03/883984509.jpg

الموحدة لله
12-02-2010, 06:19 PM
بارك الله فيك اخي الفاضل د. الصادق ونفع الله بك ..

وجعله الله في ميزان حسناتك ودمتم في عون اخوانك ...

رجب مصطفى
12-05-2010, 12:24 AM
An important property of Hermitian operators is that their eigenvalues are real. We can see this as follows:

if we have an eigenfunction of http://vergil.chemistry.gatech.edu/notes/quantrev/img68.png with eigenvalue http://vergil.chemistry.gatech.edu/notes/quantrev/img113.png, i.e.


http://vergil.chemistry.gatech.edu/notes/quantrev/img116.png

then for a Hermitian operator http://vergil.chemistry.gatech.edu/notes/quantrev/img68.png


http://vergil.chemistry.gatech.edu/notes/quantrev/img131.png http://vergil.chemistry.gatech.edu/notes/quantrev/img72.png http://vergil.chemistry.gatech.edu/notes/quantrev/img132.png
http://vergil.chemistry.gatech.edu/notes/quantrev/img133.png http://vergil.chemistry.gatech.edu/notes/quantrev/img72.png http://vergil.chemistry.gatech.edu/notes/quantrev/img134.png
http://vergil.chemistry.gatech.edu/notes/quantrev/img135.png http://vergil.chemistry.gatech.edu/notes/quantrev/img72.png http://vergil.chemistry.gatech.edu/notes/quantrev/img136.png


Since

http://vergil.chemistry.gatech.edu/notes/quantrev/img137.png

is never negative, we must have either

http://vergil.chemistry.gatech.edu/notes/quantrev/img138.png

or
http://vergil.chemistry.gatech.edu/notes/quantrev/img139.png

Since

http://vergil.chemistry.gatech.edu/notes/quantrev/img139.png

is not an acceptable wavefunction, http://vergil.chemistry.gatech.edu/notes/quantrev/img138.png, so http://vergil.chemistry.gatech.edu/notes/quantrev/img113.png is real

الصادق
12-05-2010, 03:39 PM
اختي الفاضلة الموحدة لله
بارك الله فيك وجزاك كل خير
و زادك الله علماً وحكمة