المساعد الشخصي الرقمي

مشاهدة النسخة كاملة : مؤثرات اللف المغزلي و مصفوفات باولي



الصادق
08-04-2010, 05:11 AM
مصفوفات باولي هي مصفوفات من النظام 2x2 و تعطى بالصورة التالية:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5C150dpi&space;%5Csigma_x=%5Cb igl%28%5Cbegin%7Bsmallmatrix%7D&space;0&space;&1%5C%5C&space;1&space;&&space;0&space;%5Cend%7Bsmallmatrix%7D%5Cbigr%2 9,&space;%5Cqquad&space;%5Csigma_y=%5Cbigl%28%5 Cbegin%7Bsmallmatrix%7D&space;0&space;&-i%5C%5C&space;i&space;&&space;0&space;%5Cend%7Bsmallmatrix%7D%5Cbigr%2 9%5Cqquad&space;%5Csigma_z=%5Cbigl%28%5Cb egin%7Bsmallmatrix%7D&space;1&space;&0%5C%5C&space;0&space;&&space;-1&space;%5Cend%7Bsmallmatrix%7D%5Cbig r%29

اما مؤثرات اللف المغزلي فهي تعطي عن طريق مصفوفات باولي

http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5C150dpi&space;%5Chat%7B%5Csig ma%7D_x=%5Cfrac%7B%5Chbar%7D%7B2%7D %5Cbegin%7Bpmatrix%7D&space;0&space;&&space;1%5C%5C&space;1&space;&&space;0&space;%5Cend%7Bpmatrix%7D,&space;%5Cqquad&space;%5 Chat%7B%5Csigma%7D_y=%5Cfrac%7B%5Ch bar%7D%7B2%7D%5Cbegin%7Bpmatrix%7D&space; 0&space;&&space;-i%5C%5C&space;i&space;&&space;0&space;%5Cend%7Bpmatrix%7D,%5Cqquad&space;%5C hat%7B%5Csigma%7D_z=%5Cfrac%7B%5Chb ar%7D%7B2%7D%5Cbegin%7Bpmatrix%7D&space;1 &space;&&space;0%5C%5C&space;0&space;&&space;-1&space;%5Cend%7Bpmatrix%7D,

وهنا يجب الانتباه الى الترميز لانه احياناً يُرمز لهذه المؤثرات بالحرف S و لكن اهم فرق بين مصفوفات باولي ومصفوفات اللف المغزلي هو النصف و ظهور ثابت بلانك

ويمكن حساب اقواس التبادلية بين هذه المؤثرات بصورة مباشرة
http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5C150dpi&space;%5Cnewline&space;[%5Chat%7B%5Csigma%7D_x,%5Chat%7B%5C sigma%7D_y]=%5Chat%7B%5Csigma%7D_x%5Chat%7B%5C sigma%7D_y-%5Chat%7B%5Csigma%7D_y%5Chat%7B%5Cs igma%7D_x=%5Cfrac%7B%5Chbar%7D%7B2% 7D%5Cbegin%7Bpmatrix%7D&space;0&space;&&space;1%5C%5C&space;1&space;&&space;0&space;%5Cend%7Bpmatrix%7D%5Cfrac%7B%5C hbar%7D%7B2%7D%5Cbegin%7Bpmatrix%7D &space;0&space;&&space;-i%5C%5C&space;i&space;&&space;0&space;%5Cend%7Bpmatrix%7D-%5Cfrac%7B%5Chbar%7D%7B2%7D%5Cbegin %7Bpmatrix%7D&space;0&space;&&space;-i%5C%5C&space;i&space;&&space;0&space;%5Cend%7Bpmatrix%7D%5Cfrac%7B%5C hbar%7D%7B2%7D%5Cbegin%7Bpmatrix%7D &space;0&space;&&space;1%5C%5C&space;1&space;&&space;0&space;%5Cend%7Bpmatrix%7D%5Cnewline&space;%5 Cnewline&space;%5Cnewline&space;%5Cnewline&space;[%5Chat%7B%5Csigma%7D_x,%5Chat%7B%5C sigma%7D_y]=%5Cfrac%7B%5Chbar%5E2%7D%7B4%7D%5C begin%7Bpmatrix%7D&space;i&space;&&space;0%5C%5C&space;0&space;&&space;-i&space;%5Cend%7Bpmatrix%7D-%5Cfrac%7B%5Chbar%5E2%7D%7B4%7D%5Cb egin%7Bpmatrix%7D&space;-i&space;&&space;0%5C%5C&space;0&space;&&space;i&space;%5Cend%7Bpmatrix%7D=%5Cfrac%7B%5 Chbar%5E2%7D%7B2%7D%5Cbegin%7Bpmatr ix%7D&space;i&space;&&space;0%5C%5C&space;0&space;&&space;-i&space;%5Cend%7Bpmatrix%7D=i%5Chbar%5Cfr ac%7B%5Chbar%7D%7B2%7D%5Cbegin%7Bpm atrix%7D&space;1&space;&&space;0%5C%5C&space;0&space;&&space;-1&space;%5Cend%7Bpmatrix%7D%5Cnewline&space;%5C newline&space;%5Cnewline&space;[%5Chat%7B%5Csigma%7D_x,%5Chat%7B%5C sigma%7D_y]=i%5Chbar%5Chat%7B%5Csigma%7D_z
و بنفس الطريقة نحصل على اقواس التبادلية الاخرى
http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5C150dpi&space;%5Cboxed%7B[%5Chat%7B%5Csigma%7D_x,%5Chat%7B%5C sigma%7D_y]=i%5Chbar%5Chat%7B%5Csigma%7D_z%5Cq quad&space;[%5Chat%7B%5Csigma%7D_y,%5Chat%7B%5C sigma%7D_z]=i%5Chbar%5Chat%7B%5Csigma%7D_x,&space;%5 Cqquad&space;[%5Chat%7B%5Csigma%7D_z,%5Chat%7B%5C sigma%7D_x]=i%5Chbar%5Chat%7B%5Csigma%7D_y&space;%7D

و اذا عكسنا الترتيب بين المؤثرات داخل اقواس التبادلية فاننا نحصل على اشارة سالبة و السبب هو ان
http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5C120dpi&space;[B,A]=BA-AB=-%28AB-BA%29=-[A,B]

الان نُعرف مؤثرات الLadder بالصورة التالية:
http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5C150dpi&space;%5C%5C%5Chat%7B %5Csigma%7D_%7B+%7D=%5Chat%7B%5Csig ma_x%7D+i%5Chat%7B%5Csigma_y%7D%5C% 5C%5Chat%7B%5Csigma%7D_%7B-%7D=%5Chat%7B%5Csigma%7D_x-i%5Chat%7B%5Csigma%7D_y

ويكون لدينا نظام مؤثرات جديد http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5C120dpi&space;%28%5Chat%7B%5C sigma%7D_%7B+%7D,&space;%5Chat%7B%5Csigma %7D_%7B-%7D,%5Chat%7B%5Csigma%7D_z%29 تحقق علاقات التبادلية التالية :

http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5C150dpi&space;%5Cnewline&space;%5C[%5Chat%7B%5Csigma%7D_z,%5Chat%7B%5C sigma%7D_%7B+%7D]=[%5Chat%7B%5Csigma%7D_%7Bz%7D,%5Chat %7B%5Csigma%7D_%7Bx%7D+i%5Chat%7B%5 Csigma%7D_%7By%7D]=[%5Chat%7B%5Csigma%7D_%7Bz%7D,%5Chat %7B%5Csigma%7D_%7Bx%7D]+i[%5Chat%7B%5Csigma%7D_%7Bz%7D,%5Chat %7B%5Csigma%7D_%7By%7D]=i%5Chbar%5Chat%7B%5Csigma%7D_%7By% 7D+i%28-i%5Chbar%29%5Chat%7B%5Csigma%7D_%7B x%7D=%5Chbar%28%5Chat%7B%5Csigma%7D _%7Bx%7D+i%5Chat%7B%5Csigma%7D_%7By %7D%29%5Cnewline%5Cnewline%5Cnewlin e&space;%5Ctherefore&space;%5Cqquad&space;%5Cqquad&space;%5 Cqquad&space;%5Cboxed%7B%5C[%5Chat%7B%5Csigma%7D_z,%5Chat%7B%5C sigma%7D_%7B+%7D]=%5Chbar%5Chat%7B%5Csigma%7D_%7B+%7 D%7D%5Cnewline%5Cnewline

http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5C150dpi&space;%5Cnewline&space;%5C[%5Chat%7B%5Csigma%7D_z,%5Chat%7B%5C sigma%7D_%7B-%7D]=[%5Chat%7B%5Csigma%7D_%7Bz%7D,%5Chat %7B%5Csigma%7D_%7Bx%7D-i%5Chat%7B%5Csigma%7D_%7By%7D]=[%5Chat%7B%5Csigma%7D_%7Bz%7D,%5Chat %7B%5Csigma%7D_%7Bx%7D]-i[%5Chat%7B%5Csigma%7D_%7Bz%7D,%5Chat %7B%5Csigma%7D_%7By%7D]=i%5Chbar%5Chat%7B%5Csigma%7D_%7By% 7D-i%28-i%5Chbar%29%5Chat%7B%5Csigma%7D_%7B x%7D=-%5Chbar%28%5Chat%7B%5Csigma%7D_%7Bx %7D-i%5Chat%7B%5Csigma%7D_%7By%7D%29%5C newline%5Cnewline%5Cnewline&space;%5Cther efore&space;%5Cqquad&space;%5Cqquad&space;%5Cqquad&space;%5 Cboxed%7B%5C[%5Chat%7B%5Csigma%7D_z,%5Chat%7B%5C sigma%7D_%7B-%7D]=-%5Chbar%5Chat%7B%5Csigma%7D_%7B+%7D %7D

http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5C150dpi&space;%5Cnewline%5Cne wline&space;[%5Chat%7B%5Csigma%7D_%7B+%7D,&space;%5Cha t%7B%5Csigma%7D_%7B-%7D]=[%5Chat%7B%5Csigma%7D_%7Bx%7D+i%5Cha t%7B%5Csigma%7D_%7By%7D,&space;%5Chat%7B% 5Csigma%7D_%7Bx%7D-i%5Chat%7B%5Csigma%7D_%7By%7D]=-i[%5Chat%7B%5Csigma%7D_%7Bx%7D,%5Chat %7B%5Csigma%7D_%7By%7D]+i[%5Chat%7B%5Csigma%7D_%7By%7D,%5Chat %7B%5Csigma%7D_%7Bx%7D]=-i%28i%5Chbar%29%5Chat%7B%5Csigma%7D _%7Bz%7D+i%28-i%5Chbar%29%5Chat%7B%5Csigma%7D_%7B z%7D&space;%5Cnewline%5Cnewline&space;%5Ctheref ore&space;%5Cqquad&space;%5Cqquad&space;%5Cqquad&space;%5Cb oxed%7B%5C[%5Chat%7B%5Csigma%7D_%7B+%7D,%5Chat %7B%5Csigma%7D_%7B-%7D]=2%5Chbar%5Chat%7B%5Csigma%7D_%7Bz% 7D%7D%5Cnewline%5Cnewline

ومن هنا نلاحظ ان مؤثرات الـLadder تقوم برفع و خفض اللف المغزلي بصورة تشبه السلم لان
http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5C150dpi&space;%5Chat%7B%5Csig ma%7D_%7B+%7D ترفع اللف المغزلي في z بمقدار درجة واحدة بوحدات ثابت بلانك(ثابت فعل ديراك)


http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5C150dpi&space;%5Cnewline&space;%5Ch at%7B%5Csigma%7D_%7Bz%7D%5Chat%7B%5 Csigma%7D_%7B+%7D%7C%5Cpsi%5Crangle =%28%5Chat%7B%5Csigma%7D_%7Bz%7D%5C hat%7B%5Csigma%7D_%7B+%7D-%5Chat%7B%5Csigma%7D_%7B+%7D%5Chat% 7B%5Csigma%7D_%7Bz%7D+%5Chat%7B%5Cs igma%7D_%7B+%7D%5Chat%7B%5Csigma%7D _%7Bz%7D%29%7C%5Cpsi%5Crangle%5Cnew line&space;%5Chat%7B%5Csigma%7D_%7Bz%7D%5 Chat%7B%5Csigma%7D_%7B+%7D%7C%5Cpsi %5Crangle=%28[%5Chat%7B%5Csigma%7D_%7Bz%7D,%5Chat %7B%5Csigma%7D_%7B+%7D]+%5Chat%7B%5Csigma%7D_%7B+%7D%5Chat %7B%5Csigma%7D_%7Bz%7D%29%7C%5Cpsi% 5Crangle=%28%5Chbar&space;%5Chat%7B%5Csig ma%7D_%7B+%7D+%5Chat%7B%5Csigma%7D_ %7B+%7D%5Csigma_%7Bz%7D%7C%5Cpsi%5C rangle=%28%5Csigma_z+%5Chbar%29%5Ch at%7B%5Csigma%7D_%7B+%7D%7C%5Cpsi%5 Crangle&space;%5Cnewline
و http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5C150dpi&space;%5Chat%7B%5Csig ma%7D_%7B-%7D تخفض اللف المغزلي في z بمقدار درجة واحدة بوحدات ثابت بلانك(ثابت فعل ديراك)

http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5C150dpi&space;%5Cnewline&space;%5Ch at%7B%5Csigma%7D_%7Bz%7D%5Chat%7B%5 Csigma%7D_%7B-%7D%7C%5Cpsi%5Crangle=%28%5Chat%7B% 5Csigma%7D_%7Bz%7D%5Chat%7B%5Csigma %7D_%7B-%7D-%5Chat%7B%5Csigma%7D_%7B-%7D%5Chat%7B%5Csigma%7D_%7Bz%7D+%5C hat%7B%5Csigma%7D_%7B-%7D%5Chat%7B%5Csigma%7D_%7Bz%7D%29% 7C%5Cpsi%5Crangle%5Cnewline&space;%5Chat% 7B%5Csigma%7D_%7Bz%7D%5Chat%7B%5Csi gma%7D_%7B-%7D%7C%5Cpsi%5Crangle=%28[%5Chat%7B%5Csigma%7D_%7Bz%7D,%5Chat %7B%5Csigma%7D_%7B-%7D]+%5Chat%7B%5Csigma%7D_%7B-%7D%5Chat%7B%5Csigma%7D_%7Bz%7D%29% 7C%5Cpsi%5Crangle=%28-%5Chbar&space;%5Chat%7B%5Csigma%7D_%7B-%7D+%5Chat%7B%5Csigma%7D_%7B-%7D%5Csigma_%7Bz%7D%7C%5Cpsi%5Crang le=%28%5Csigma_z-%5Chbar%29%5Chat%7B%5Csigma%7D_%7B-%7D%7C%5Cpsi%5Crangle&space;%5Cnewline


اذن فان حالات اللف المغزلي تتراتب في شكل سلم من ادنى لف مغزلي الى أعلى لف مغزلي



هذا والله اعلم

رجب مصطفى
08-04-2010, 05:45 AM
بارك الله فيك أستاذنا الغالي / الصادق على هذا المجهود الكبير وجعله في ميزان حسناتك يوم القيامة ...

كنت أفضل أن يُستخدم حرف Sللدلالة على مصفوفات الغزل، للتفرقة بينها وبين مصفوفات باولي ...

لذا أنبه الأخوة أنه يجب ملاحظة أن حرف سيجما فوقه قبعة http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Chat%7B%5Csigma%7D يرمز لمصفوفة اللف ... في حين ترمز السيجما المجردة http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Csigma لمصفوفات باولي !

والآن ... مع المهم ... مما سبق، وكما نعلم جميعاً أن:


http://latex.codecogs.com/gif.latex?S_%7Bi%7D=%5Cleft&space;%28&space;%5C hbar/2&space;%5Cright&space;%29%5Csigma_%7Bi%7D


وأن مؤثرات السلم ladder للغزل هي:


http://latex.codecogs.com/gif.latex?S_%7B%5Cpm%7D=S_%7Bx%7D&space;% 5Cpm&space;i&space;S_%7By%7D


إذن بالتعويض ... نجد أن:


http://latex.codecogs.com/gif.latex?%28%5Chbar/2%29%5Csigma_%7B%5Cpm%7D=%28%5Chbar/2%29%5Csigma_%7Bx%7D&space;%5Cpm&space;i&space;%28%5C hbar/2%29%5Csigma_%7By%7D


وبحذف (أو بالقسمة على) المقدار http://latex.codecogs.com/gif.latex?%28%5Chbar/2%29 للطرفين ... نجد أن:


http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Csigma_%7B%5Cpm%7D=%5Cs igma_%7Bx%7D&space;%5Cpm&space;i&space;%5Csigma_%7By% 7D


وهنا المشكلة ! ... فالمعادلة السابقة غير صحيحه، فالصحيحة هي:


http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Csigma_%7B%5Cpm%7D=%5Cf rac%7B1%7D%7B2%7D%5Cleft&space;%28%5Csigm a_%7Bx%7D&space;%5Cpm&space;i&space;%5Csigma_%7By%7D&space; %5Cright&space;%29


فلا أعلم من أين جاء النصف !!!

الصادق
08-05-2010, 06:16 AM
اخي الغالي رجب
حياك الله تعالى واجرى الخير على يديك
اشكرك على التنبيه و اتفق معك بضرورة تبديل الحرف سيجما بـ S حتى لا يحدث لبس في الترميز، وارجو منك اخي ان تقوم بهذا التعديل لاني ليست لدي صلاحية اجراء تعديل

بالنسبة لتعريف مؤثرات الـ ladder فلك مطلق الحرية طالما انك تلتزم بالجبر المترتب على اختيارك للتعريف فمثلاً اذا اخترنا التعريف:
http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Csigma_%7B%5Cpm%7D=%5Cs igma_%7Bx%7D&space;%5Cpm&space;i&space;%5Csigma_%7By% 7D
فعلينا الالتزام بالجبر التالي:
http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5C150dpi%20[%5Csigma_z,%5Csigma_%7B%5Cpm%7D]=%5Cpm2%5Csigma_%7B%5Cpm%7D,%20%5Cq quad%20[%5Csigma_%7B+%7D,%5Csigma_%7B-%7D]=4%5Csigma_%7Bz%7D

اما اذا اخترنا التعريف :
http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Csigma_%7B%5Cpm%7D=%5Cf rac%7B1%7D%7B2%7D%5Cleft&space;%28%5Csigm a_%7Bx%7D&space;%5Cpm&space;i&space;%5Csigma_%7By%7D&space; %5Cright&space;%29
فيجب ان نلتزم باستخدام الجبر التالي:
http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5C150dpi&space;[%5Csigma_z,%5Csigma_%7B%5Cpm%7D]=%5Cpm2%5Csigma_%7B%5Cpm%7D,&space;%5Cqqu ad&space;[%5Csigma_%7B+%7D,%5Csigma_%7B-%7D]=%5Csigma_%7Bz%7D


وعموماً اي تعريف بالصورة :
http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5C150dpi&space;%5Csigma_%7B%5C pm%7D=c%28%5Csigma_x%5Cpm&space;i%5Csigma _y%29
حيث c اي عدد حقيقي

يحقق الجبر التالي:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5C150dpi&space;[%5Csigma_z,%5Csigma_%7B%5Cpm%7D]=%5Cpm2%5Csigma_%7B%5Cpm%7D,&space;%5Cqqu ad&space;[%5Csigma_%7B+%7D,%5Csigma_%7B-%7D]=4c%5E2%5Csigma_%7Bz%7D

اذن خلاصة القول هي ان عملية التعريف اختيارية ولا يوجد اي سبب فيزيائي او رياضي يميز تعريف عن الاخر، اما الالتزام بالجبر المترتب من التعريف المعين فهو اجباري
والمطلب الفيزيائي الوحيد هو ان تُحقق مؤثرات الـladder
الشرط :
http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5C150dpi&space;%5Csigma_%7B-%7D%7C%5Crm&space;lowest%5C;&space;state%5Crang le=0,&space;%5Cqquad&space;%5Csigma_%7B+%7D%7C% 5Crm&space;Highest%5C;&space;state%5Crangle=0
اي لايمكن النزول ادنى من ادنى حد ممكن ولايمكن الصعود اعلى من اعلى حد ممكن


هذا والله اعلم

رجب مصطفى
08-05-2010, 06:28 PM
اذن خلاصة القول هي ان عملية التعريف اختيارية ولا يوجد اي سبب فيزيائي او رياضي يميز تعريف عن الاخر، اما الالتزام بالجبر المترتب من التعريف المعين فهو اجباري
والمطلب الفيزيائي الوحيد هو ان تُحقق مؤثرات الـladder
الشرط :


http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5C150dpi&space;%5Csigma_%7B-%7D%7C%5Crm&space;lowest%5C;&space;state%5Crang le=0,&space;%5Cqquad&space;%5Csigma_%7B+%7D%7C% 5Crm&space;Highest%5C;&space;state%5Crangle=0


اي لايمكن النزول ادنى من ادنى حد ممكن ولايمكن الصعود اعلى من اعلى حد ممكن
هذا والله اعلم

جزاك الله خيراً أخي وأستاذي الغالي / الصادق وجعله في ميزان حسناتك يوم القيامة ...

وضحت الفكرة إن شاء الله وسأعيد دراسة الموضوع مرة أخرى بُناءاً عليها ...

وإن شاء الله سأقوم بالتعديل المطلوب في أقرب وقت إن شاء الله ...

في أمان الله ...

رجب مصطفى
08-20-2010, 03:55 PM
والرابط التالي يمكن أن يفيد في الموضوع


http://www.easyspin.org/********ation/spinoperators.html


ملحوظة ... docu-ment احذف الشرطة (-) واكتب الكلمة مكان النجوم !

في أمان الله