المساعد الشخصي الرقمي

مشاهدة النسخة كاملة : معادلة شرودنغر والفلسفة الحتمية



murad abuamr
07-07-2010, 02:20 AM
بسم الله الرحمن الرحيم






الحمد لله تعالى وحده لا شريك له ولا ندَّ له ، والصلاة والسلام على من بحبِّه لله لا مثيل له ولا نظير له .





إنّ الهدف الأساسي الذي أنشده من خلال هذه السلسلة هو أن أبيِّن بعض المعالم الأساسية في ميكانيكا الكم ، والتي يصعب أن نجد شرحاً لها بهذه الطريقة .


وليس الهدف أن نعيد شرح هذه المواد كما في المناهج والكتب التي تركز على الجانب الرياضي من هذا العلم ، فيخرج الطالب المتميز في الفيزياء بعدها خبيراً في الرياضيات ، ولكن لا علم له من قريب أو بعيد بالمعاني الفيزيائية المتضمنة لها ، والتي هي أهم من الجانب الرياضي .


وفي هذه الحلقة سنسلط الضوء على معادلة شرودنغر الموجية دون تفاصيل رياضية طويلة أو قصيرة ، ولكن لنتعلم ماهيتها ومن أين جاءت ، والمعاني الرياضية والفيزيائية المرافقة لها ، ولنعرف ما هي التناقضات الفلسفية بينها وبين نتائجها من جهة ، وبين الفيزياء الكلاسيكية والمبادئ الحتمية من جهة أخرى ، ومن هنا نبدأ بحول الله :


تعريف عام بمعادلة شرودنغر الموجية


إنّ معادلة شرودنغر الموجية هي معادلة تفاضلية من الدرجة الثانية ، وهذه المعادلة هي المكافئ الموجي الكوانتي لمبدأ حفظ الطاقة في الفيزياء الكلاسيكية ، وتكتب هذه المعادلة على الصورة التالية :


ĤΨ = EΨ




حيثّ أنّ Ĥ يسمى بالهاملتونيان من الناحية الفيزيائية ، وهو المؤثر التفاضلي للطاقة ، ويطلق عليه رياضياً اسم Eigen vector .


أما E فهي طاقة النظام من الناحية الفيزيائية وهي مقدار ثابت ، وتسمى رياضياً بالقيمة المميزة Eigen value .


بالنسبة للمصطلح Eigen value فهو مركب من كلمتين ، الأولى Eigen وهي كلمة ألمانية معناها مميز أو صحيح ، والكلمة الثانية وهي value ، ومعناها قيمة .


والهاملتونيان مكون من مجموع حدين : الأول هو حد تفاضلي من الدرجة الثانية والذي يمثل الطاقة الحركية ، أما الحد الثاني فهو طاقة الوضع ، وليس حداً تفاضلياً ، وهو الذي باختلافه يختلف حل معادلة شرودنغر ، وهو الذي يحدد مدى تعقيد الحل أو بساطته .


إنّ حل معادلة شرودنغر يعطي دالّة أو اقتراناً يمثِّل معادلة الموجة ويرمز له بالرمز Ψ ، والمعلومة التي يقدمها هذا الاقتران الناتج عن حل هذه المعادلة هي سعة الموجة .


ومع أنّ البعض يرى أنّه لا يوجدٌ معنى فيزيائياً وراء Ψ بحد ذاتها ، إلا أنّ هذا الكلام قد لا يكون صحيحاً ، فلو قالوا أنه لا توجد أهمية مباشرة ل Ψ لكان قولُهم أصح ، وهي أيضاً غيرُ قابلة للقياس ، أي أنها كمية نظرية بحتة ، وهذا على خلاف الدالة الموجية الكلاسيكية ، والتي يمكن قياسها مباشرةً .


وقد جاءت معادلة شرودنغر من خلال تفاضل معادلة الموجة الجيبية الكلاسيكية المعلومة سلفاً وهي :



Ψ = A Sin (κ x - φ) , Equation of Sine wave




حيثُ أنّ κ هو العدد الموجي ، وهو عبارة عن عدد الأمواج في مسافة مقدارها وحدة واحدة ، لكن يبدو من خلال تعريفه الرياضي أنّ مقدار هذه الوحدة يساوي 2π ، وبالمعادلات :



κ = 2 π/λ




و φ هو ثابت الطور ، وهو ثابت تفاضلي اختياري لا يظهر في معادلة شرودنغر .


أما A فهو ثابت اختياري أيضاً لا يظهر في المعادلة التفاضلية ، ويمثل أقصى سعة للموجة .


والحالة الموجية الثابتة التي على هذه الصورة ، والتي هي الموجة الجيبية ، هي حالة خاصة ، حيثُ تكون طاقة الحركة وطاقة الوضع للموجة ثابتتين كل منهما على حدىً ، لذلك فإنّ العدد الموجي لهذه الموجة سيكون ثابتاً ، وسيعطي هذا طولاً موجياً ثابتا دائماً .


وهذه الموجة تمثل حالة موجيةً ثابتة كما أسلفنا ، وتعميم المعادلة التفاضلية الناتجة عنها ، لتشمل جميع الحالات الموجية – وليس فقط الموجات الجيبية – أنتج لنا ما يُعرف بمعادلة شرودنغر .


وللمعلومة فإنّ أيّ اقتران رياضي يعطي معادلة تفاضلية واحدة له ، والأمر ليس عشوائياً أو اختيارياً .


المعنى الرياضي لمعادلة شرودنغر


يعلم أيُّ شخص يعرف مبادئ التفاضل وخواص الاقترانات الرياضية أنّ المشتقة الثانية لأيِّ اقترانٍ رياضي تكشف عن تقعر ذلك الاقتران ، فإذا كانت المشتقة الثانية موجبة ، فإنّ الاقتران سيكون مقعراً لأعلى ، أما إن كانت سالبة ، فإنّ الاقتران سيكون مقعراً لأسفل .


لكن عند النقطة التي تكون المشتقة الثانية تساوي الصفر ، فإنّ هذه النقطة تكون نقطة انعطاف ، وهي النقطة التي يتحول بعدها الاقتران مباشرةً من مقعر لأعلى إلى مقعر لأسفل ، ولكن في تلك النقطة بالتحديد فإنّ الاقتران يكون في حالة حيادية من ناحية التقعر ، لذلك فإنّ المماس عند تلك النقطة سيكون قاطعاً بلا شك .


ننوه إلى أنّه يمكن كتابة معادلة شرودنغر على هذه الصورة :



Ψ" = - 2m/ħ^2 TΨ




حيثّ أنّ T هي الطاقة الحركية ، والتي هي (E – V) .


ومن خلال هذه الصورة الأخيرة ، فإنّ المشتقّة الثانية ل Ψ تتناسب مع سالب الطاقة الحركية ومع Ψ أيضاً .


إنّ هذا يعني أنّ التقعُّر يجب أن يكون دائماً باتجاه محور السينات ، ولكن لماذا ؟


ذلك أنّ الطاقة الحركية موجبة ، وبوجود إشارة السالب ، إن كانت Ψ موجبة (أي أنها فوق محور السينات) فإنّها يجب أن تكون مقعرة للأسفل ، أي باتجاه المحور ، لأنّ المشتقّة الثانية ل Ψ ستكون سالبة .


أما إن كانت Ψ سالبة (تقع تحت محور السينات) فإنّ المشتقّة الثانية ل Ψ ستكون موجبة ، و سيكون الاقتران مقعراً للأعلى (أي باتجاه محور السينات أيضاً) .


لذلك نجد دائماً أنّ التقعر في الموجات يكون باتجاه المحور كما يبين الشكل :



http://www.rofof.com/img5/7lothc6.gif (http://www.rofof.com)




يظهر من هذا أن Ψ لا يمكن أن تدير ظهرها لمحور السينات ضمن هذه الفترة والتي هي فترة كلاسيكية .


لكن متى تساوي المشتقّة الثانية ل Ψ الصفر ؟


بالطبع فإنّ "Ψ ستساوي الصفر لأيّ نقطة انعطاف كما ذكرنا سابقاً ، ولا يحدثُ هذا إلا أن تكون Ψ ذاتها مساوية للصفر ، أو أنّ الطاقة الحركية تساوي الصفر ، ويبدو هذا واضحاّ من خلال المعادلة الأخيرة .


أما Ψ فتساوي الصفر عندما تتقاطع هذه الدالة مع محور السينات ، والشكل الأخير يوضح هذه الفكرة جيداً ، ويمكن الملاحظة أنه عند أي نقطة التقاء بين Ψ ومحور السينات فإنّ هذه النقطة دائماً هي نقطة انعطاف ، ويتضمن هذا أنّ سعة الموجة تساوي الصفر في تلك المنطقة .


أبرز المشكلات الفلسفية في معادلة شرودنغر من وجهة النظر الحتمية


من الوهلة الأولى فوجود معادلة حفظ الطاقة على هيئة معادلة تفاضلية ، بدلاً من دالة رياضية متصلة رياضياً ، سيسبب مشاكل نظرية كبيرة .


وذلك أنّ حل هذه المعادلة التفاضلية سيحتمُ وضع شروط محددة ليكون الحل صحيحاً ، لذلك كان علينا أن نشترط أنّ الطاقة لا بدّ أن تأخذ قيماً منفصلة (مكماة) .
بينما في الميكانيكا الكلاسيكية ، فإنّ الطاقة كمية متصلة ، ولا يجوز أن تأخذ قيماً محددة ، ولا وجود لقيم للطاقة غير مسموح بها .


هذه المشكلة بدت معالمها من الوهلة الأولى كما ذكرت ، وقبل حل المعادلة ، لكن هنالك مشاكل ستظهر بعد حلها أيضاً .


والمشكلة الثانية أنّ الدالة الموجية تتقاطع مع محور السينات أحياناُ عند نقاط الانعطاف كما ذكرنا ، وهذا التقاطع سيجعل سعة الموجة عند تلك النقاط مساويةُ للصفر ، مما يعني عدم وجود الجسيم الذي تمثله تلك الدالة في تلكم الأمكنة ، بينما يتواجد حولها ، بل ويعبر من تلك المنطقة التي يمكن وجوده فيها إلى المنطقة الأخرى التي يمكن أن يوجد فيها أيضاً ، مارّاً في المنطقة التي بينهما دون أن يتواجد فيها .


والمشكلة الثالثة هي وجود الدّالة في أما كن مختلفة في ذات الوقت ، ولأنّ وجود الدالة يعني وجود الموجة ، وهذه الموجة قد تكون إلكتروناً مثلاً أو غيره ، فهذا يعني أنّ الإلكترون يجب أن يكون موجوداً في عدة أماكن في وقت واحد ، وهذا ما يتناقض مع الفطرة السليمة ، وبالتالي مع الفيزياء الكلاسيكية ، ومع الفلسفة الحتمية أيضاً .


لكن هذه المشاكل يمكن قبولها من الناحية الكلاسيكية ، وذلك بأخذ التفسير الموجي للمادة ، فلو قلنا من البداية أنّ الإلكترونات مثلاً هي أمواج ، لما سببت لنا هذه النتائج قلقاً كبيراً .


لكنّ مصيبةً كوانتيةً ما زالت مخبأةً بعد ، ولم تكشف عن نفسها للآن ، وهذه المصيبة الكوانتية تكمن في أنّ الدالة الموجية تعطي قيماً في منطقة محرمة كلاسيكياً ، فتتنبّأ بوجود الجسيمات الموجية في الفترة التي لا يمكن كلاسيكياً أن توجد فيها ، وذلك لأنّ طاقتها الحركية تكون قد استنزفت بفعل طاقة الوضع قبل وصولها لها ، أي أنها منطقة ذات طاقة حركية سالبة ، وهذا ما يتناقض بالفعل مع الفطرة السليمة ، ولا يمكن أن تقبل به الفيزياء الكلاسيكية تحت أي ظرف .


ويحدث هذا بسبب اختراق الدالة كما ذكرنا الحاجز الكلاسيكي عند النقطة التي تسمى نقطة الانقلاب الكلاسيكية ، وهي إحدى نقاط الانعطاف ، لأنّ الطاقة الحركية عندها تساوي الصفر ، وقد أوضحنا أنّ نقاط الانعطاف توجد عندما تكون الدالة صفراً أو أنّ الطاقة الحركية تساوي الصفر .


وبعد نقطة الانعطاف هذه يتحول الاقتران من مقعر لأسفل باتجاه المحور الأفقي ، إلى مقعر لأعلى ، وهذه هي الحالة الوحيدة التي فيها تدير الدالة ظهرها لمحور السينات كما يبين الشكل :



http://www.rofof.com/img5/7qiean6.gif (http://www.rofof.com)




في الشكل الأخير يمثل المستقيم الأخضر طاقة الوضع ، بينما يمثل محور السينات الطاقة الكلية ، وهي مقدار ثابت كما هو ملاحظ .


وعند الخط العمودي الذي يظهر في الشكل فإنّ الطاقة الحركية تساوي الصفر ، وتساوي طاقة الوضع الطاقة الكلية ، والفترة الداخلية تسمى بالفترة الكلاسيكية كما في الشكل :



http://www.rofof.com/img5/7tfnjy6.gif (http://www.rofof.com)





ويلاحظ كيف أنّ الدالة تنهار تماماً بعد هذا الخرق السافر للأعراف والقوانين التقليدية ، لكي تصل الصفر بعد فترة ضئيلة نسبياً ، حيثُ أنّ هذا الخرق لا يستمر طويلاً ، فعلى الرغم من أنّ الميكانيكا الكوانتية اعتادت على مخالفة الفيزياء الكلاسيكية ، إلا أنها أيضاً لا تفضل أن تتمادى كثيراً بذلك .


أود أن أطرح مثالاً لكي يتوضّح الأمر أكثر :


لو أنّنا قذفنا جسماً إلى أعلى بسرعة 10 م/ث ، فإنّ هذا الجسم سيصل إلى أقصى ارتفاع وهو 5 م على اعتبار تسارع الجاذبية الأرضية 10 م/ث^2 .


حسناً ، لو قذفنا 1000 جسم بنفس تلك السرعة من نفس المكان ، فلن تتغير النتيجة (أي أنّ النتيجة لن تتخلّف) .


ولو قذفنا 10^10 من الأجسام فلن تتغير النتيجة ، ولن يتمكن أي من هذه الأجسام أن يتعدى حاجز الخمسة أمتار ، ولن تكون هنالك فرصة لبعض هذه الأجسام من تعديها أو حتى عدم الوصول إليها ، فالنتيجة معلومة محددة سلفاً .


هذه النقطة التي لا يمكن للأجسام أن تتعداها تسمى بنقطة الانقلاب الكلاسيكية ، وهي النقطة التي تكون الطاقة عندها بالكامل على شكل طاقة وضع ، والطاقة الحركية عندها تساوي الصفر .


بطبيعة الحال يختلف تعريف هذه النقطة من نظام لآخر ، فقد لا تختفي الطاقة الحركية مطلقاً ، فمثلاً في نظام كالمجموعة الشمسية ، فإنّه توجد لكل كوكب نقطتي انعطاف هما الأوج والحضيض ، وعند هاتين النقطتين تكون السرعة القطرية مساوية للصفر ، أي أنّ الطاقة الحركية القطرية هي المساوية للصفر بينما الطاقة الحركية الزاوية ليست كذلك ، وتبقى موجودة .


لنرجع لمثالنا ، فحسب الميكانيكا الكوانتية هنالك احتمال واحد من ألف مثلاً أن تتجاوز بعض الأجسام المقذوفة بتلك السرعة حاجز الخمسة أمتار ، لذلك سيكون لدينا جسم واحد من الألف سيجتاز ذلك الحاجز .


وسيكون لدينا 10^7 من 10^10 سيجتاز ذلك الحاجز ، وهذا كما ذكرت لكم لا يمكن أبداً قبوله ولا بأي تفسير كلاسيكي .



الأهمية الفيزيائية لحل معادلة شرودنغر



ذكرنا أنّ حل معادلة شرودنغر لأي نظام موجي يعطي صورة معادلة الموجة Ψ ، وأنّ هذه الدالة تمثل سعة الموجة عند موضع معين .


لكنّ الأهمية الفيزيائية من وراء Ψ لا تظهر إلا إذا وجدت Ψ مع مُرافقها الرياضي – ويرمز له بالرمز*Ψ – لكي نوجد العناصر الاحتمالية للموجة صاحبة هذه الدالة .


إنّ أهمية الدالة الموجية الكوانتية في أنّ مربعها المطلق يعطي كثافة الاحتمال (وليس الاحتمال) لوجود الجسيم عند أي نقطة .


فيُعطى الاحتمال من خلال العلاقة التالية :

http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5C120dpi&space;%5Clarge&space;dP%28x %29=%5Cleft&space;%7C&space;%5CPsi&space;%28x%29&space;%5Cr ight&space;%7C%5E%7B2%7Ddx


حيث أنّ dP هو احتمال وجود الجسيم في فترة مقدارها dx ، ويمكن الحصول على احتمال وجود الجسيم ضمن أي فترة بإجراء التكامل على طرفي المعادلة الأخير بدلالة dx ، حيث أنّ احتمال وجود الجسيم ضمن الفترة المعرفة عليها الدالة كاملة يساوي واحد .

ويمكن الحصول على توقع أي كمية فيزيائية بوضعها بين الدالتين في المعادلة الأخيرة وإجراء التكامل على الفترة الصحيحة .


وهنا تبرز مشكلةٌ فلسفيةٌ عميقة أيضاً ، وهي أنّ هذه الدالة لا تعطي معلومات محددة لوجود للمادة ، ولكنها تعطي معلومات ذات طابع احتماليٍّ لوجودها ، وقد نوهنا أنّ الموجة تفترض وجود الجسيم الموجي على طول الفترة التي تتعرف عليها تلك الدالة ، ولا تقوم فلسفتها على تحديد موقع الجسيم في موضع ما ، وهذا كما سبق يمكن تعليله كلاسيكياً بوجود الخصائص الموجية للمادة .


لكن في الموجات الكلاسيكية فإنّ الاحتمالية تتمثل في Ψ فقط وليس في مربعها المطلق ، وهذا من الاختلاف بين الموجة الكلاسيكية والموجة الكوانتية .


الدالة الموجية لموجتين متراكبتين



أخيراً فإنّ الدوال الموجية قابلة للجمع ، فإنه يمكن جمع دالتين موجيتين مختلفتين لينتج لدينا دالة جديدة ناتجة عن مجموعهما ، وهذا يمكن عند تراكب موجتين معلومتي الدالتين ، والتراكب يعني اختلاط الموجات وتداخلها .


ولكن لا يجوز أن نجمع الاحتماليات معاً ، أي لا يجوز جمع مربعيهما مباشرة للحصول على الاحتمالية الناشئة عن تراكبهما ، ولكن نربع الدالة الجديدة تربيعاً مطلقاً .



وهنا ننتهي بفضل الله من الجزء الرابع من هذه السلسلة التي أسأل الله تعالى أن ينفع بها ، وانتظروا الجزء الخامس منها إن شاء الله.


هذا والله أعلم ، ولا تنسونا من صالح دعائكم .

رجب مصطفى
07-07-2010, 02:34 AM
بسم الله ما شاء الله ...

موضوع جديد ينضم لسلسلة روائعك أستاذنا الغالي / مراد أبو عمرو ...

بارك الله فيك وجعله في ميزان حسناتك يوم القيامة ...

في أمان الله

murad abuamr
07-07-2010, 02:37 AM
بسم الله ما شاء الله ...

موضوع جديد ينضم لسلسلة روائعك أستاذنا الغالي / مراد أبو عمرو ...

بارك الله فيك وجعله في ميزان حسناتك يوم القيامة ...

في أمان الله


اللهم آمين ، وإياكم أخي الكريم .

murad abuamr
07-07-2010, 08:07 AM
لقد أجريت تعديلات بسيطة أخي رجب ، لذلك أنصحك بقراءة المقال مرةً أخرى .

محمد عريف
07-07-2010, 10:15 AM
بصراحة موضوع رائع

ودائما ما أبحث عن فلسفة المعادلة أو المعني الفيزيائي للمعادلة

وهذا علي عكس تدريسنا للفيزياء، حيث نجد كل صفحة من المقررات الجامعية مكتظة بالمعادلات

بينما ألاحظ أن المراجع الأجنبية لا تزيد عن ثلاثة معادلات في الصفحة الواحدة وباقي الصفحة شرحاً للأصول الفيزيائية للمعادلة

الحمد لله أصبحا من منا علي الطريق الصحيح

شكراً لك أخي مراد علي سلسلتك الرائعة ..... والتي كلما أعدت قراتها أكتشفت شيئاً جديداً ...... تذكرني بكتاب ميكانيكا الكم ... مقرر بيركلي

والذي لم استطع الانتهاء منه .... لأنه كلما أعدت قرأته أكتشفت الجديد

مع وافر احترامي وتقديري

مروة إبراهيم
07-07-2010, 10:52 AM
السلام عليكم ورحمة الله وبركاته،
أخي الكريم مراد أبو عمرو، في البداية أشكرك على هذا الموضوع الشيق الممتع
أعجبني كثيرا قولك:

فعلى الرغم من أنّ الميكانيكا الكوانتية اعتادت على مخالفة الفيزياء الكلاسيكية ، إلا أنها أيضاً لا تفضل أن تتمادى كثيراً بذلك.وكما قال أخي رجب فهو "موضوع جديد ينضم لسلسلة روائعك" وقد وفقت فيها إلى اقصى حد فبارك الله فيك أخي الكريم.
وكما هي الحال لاحظت الاختلاف في المصطلحات، اتمنى لو يتم توحيدها، وأتذكر ان أختي تغريد قد ذكرت الأمر قبل هذا، ولكن الأمر يحتاج جهد كبير ونشاط في الترجمة
المهم..
قرأت الموضوع أكثر من مرة ولكن نظرا لمعرفتي الرياضية المتدنية فيما يتعلق بميكانيك الكم يستوقفني موضوع كثافة الاحتمال،نعم فهمت أن مربع سعة الدالة الموجية يعطي كثافة الاحتمال ولكن (أرجو ألا يضايقك سؤالي الغبي) ما دام الاحتمال أخبرنا عن احتمالية وجود أو لا وجود الجسم في زمن معين، ومكان معين، فما فائدة كثافة الاحتمال؟

murad abuamr
07-07-2010, 12:34 PM
بصراحة موضوع رائع

ودائما ما أبحث عن فلسفة المعادلة أو المعني الفيزيائي للمعادلة

وهذا علي عكس تدريسنا للفيزياء، حيث نجد كل صفحة من المقررات الجامعية مكتظة بالمعادلات

بينما ألاحظ أن المراجع الأجنبية لا تزيد عن ثلاثة معادلات في الصفحة الواحدة وباقي الصفحة شرحاً للأصول الفيزيائية للمعادلة

الحمد لله أصبحا من منا علي الطريق الصحيح

شكراً لك أخي مراد علي سلسلتك الرائعة ..... والتي كلما أعدت قراتها أكتشفت شيئاً جديداً ...... تذكرني بكتاب ميكانيكا الكم ... مقرر بيركلي

والذي لم استطع الانتهاء منه .... لأنه كلما أعدت قرأته أكتشفت الجديد

مع وافر احترامي وتقديري


شكراً لك اخي الحبيب محمد على كلامك اللطيف الجميل دائماً ، والذي يدل على شخص جدي محب للعلم .

murad abuamr
07-07-2010, 12:46 PM
السلام عليكم ورحمة الله وبركاته،
أخي الكريم مراد أبو عمرو، في البداية أشكرك على هذا الموضوع الشيق الممتع
أعجبني كثيرا قولك:
وكما قال أخي رجب فهو "موضوع جديد ينضم لسلسلة روائعك" وقد وفقت فيها إلى اقصى حد فبارك الله فيك أخي الكريم.
وكما هي الحال لاحظت الاختلاف في المصطلحات، اتمنى لو يتم توحيدها، وأتذكر ان أختي تغريد قد ذكرت الأمر قبل هذا، ولكن الأمر يحتاج جهد كبير ونشاط في الترجمة
المهم..
قرأت الموضوع أكثر من مرة ولكن نظرا لمعرفتي الرياضية المتدنية فيما يتعلق بميكانيك الكم يستوقفني موضوع كثافة الاحتمال،نعم فهمت أن مربع سعة الدالة الموجية يعطي كثافة الاحتمال ولكن (أرجو ألا يضايقك سؤالي الغبي) ما دام الاحتمال أخبرنا عن احتمالية وجود أو لا وجود الجسم في زمن معين، ومكان معين، فما فائدة كثافة الاحتمال؟



أولاً شكراً أخت مروة على حسن متابعتك وطيب كلامك .

ثانياً : فإنّ الفرق بين كثافة الاحتمال والاحتمال هو كالفرق بين الكتلة والكثافة المعروفة .

وبتقريب كلاسيكي ، لو ضربنا مربع هذه الدالة في الشحنة الكلية للإلكترون لأعطتني النتيجة كثافة الشحنة ، وفي الحقيقة هذا ما كان يظنه شرودنغر في البداية ، أنّ الموضوع هو كثافة حقيقية ، لكنّه عرف فيما بعد أنّ الأمر ليس كذلك .

لقد كنت أعلم أنّ هذه النقطة تمثل نقطة ضعف في مقالتي ، وكنت أنوي شرحها بإسهاب أكثر ، إلا أنّي تعبت كثيراً هذه الأيام ، وقد كلفتني كتابه هذه المقالات تعباً وإجهاداً لساعات متواصلة لعدّة أيام ، وكنت أبقى حتى أذان الفجر مستيقظاً ، فآثرت أن أتوقف في هذه المقالة إلى هذا الحد .

ولذلك تلاحظين أنّ الأفكار في هذه المقالة جاءت متراصّة وعلى شكل نقاط دون طول شرح .

مروة إبراهيم
07-07-2010, 01:37 PM
شكرا لك أخي مراد، أعتقد أني فهمت الآن
كثافة الاحتمال تكون على عدد من الأبعاد (1، 2، 3.....) على منطقة_ مساحة أو حجم فالأوربيتال يوضح احتمال تواجد الالكترون في منطقة حول النواة
أما الاحتمال فهو عند نقطة معينة ولذلك نجري التكامل لكثافة الاحتمال بدلالة dx أو dA أو dV ....
أرجو التصحيح


قد كنت أعلم أنّ هذه النقطة تمثل نقطة ضعف في مقالتي ، وكنت أنوي شرحها بإسهاب أكثر ، إلا أنّي تعبت كثيراً هذه الأيام ، وقد كلفتني كتابه هذه المقالات تعباً وإجهاداً لساعات متواصلة لعدّة أيام ، وكنت أبقى حتى أذان الفجر مستيقظاً ، فآثرت أن أتوقف في هذه المقالة إلى هذا الحد .
أعانك الله واسترح بعض الوقت فقد قمت بمجهود كبير في هذه المقالات وجميعنا يقدره، لكن لن نتنازل عن اكمال هذه المقالات



ولذلك تلاحظين أنّ الأفكار في هذه المقالة جاءت متراصّة وعلى شكل نقاط دون طول شرح .
بالعكس فقد كانت الأفكار واضحة وقد عرضتها بشكل ممتاز بدليل أنه لا أحد غيري علق على أي من النقاط، فليس العيب من ناحيتك أخي الكريم

murad abuamr
07-07-2010, 02:47 PM
شكرا لك أخي مراد، أعتقد أني فهمت الآن
كثافة الاحتمال تكون على عدد من الأبعاد (1، 2، 3.....) على منطقة_ مساحة أو حجم فالأوربيتال يوضح احتمال تواجد الالكترون في منطقة حول النواة
أما الاحتمال فهو عند نقطة معينة ولذلك نجري التكامل لكثافة الاحتمال بدلالة dx أو da أو dv ....



100 %



أعانك الله واسترح بعض الوقت فقد قمت بمجهود كبير في هذه المقالات وجميعنا يقدره، لكن لن نتنازل عن اكمال هذه المقالات


بارك الله بكم ، وهذا لحسن متابعتكم .



بالعكس فقد كانت الأفكار واضحة وقد عرضتها بشكل ممتاز بدليل أنه لا أحد غيري علق على أي من النقاط، فليس العيب من ناحيتك أخي الكريم



هذا لأنه لم يشاهد المقال كثير من الأعضاء ، فليست المشكلة عندك أخت مروة .

عبد الرحـمن
07-10-2010, 01:07 PM
موضوع رائع أخي مراد ، بارك الله فيك.
أتمنى من المشرفين إزالة بعض المواضيع المثبتة القديمة و تثبيت هذا الموضوع.
لا أستطيع التعقيب على الموضوع الآن حتى أستوعب طرحك جيدا.
ذكرتني بمواضيع الأخت تتغريد في هذا الجانب:
http://hazemsakeek.com/vb/showthread.php?13452

محمد عريف
07-10-2010, 02:15 PM
موضوع رائع أخي مراد ، بارك الله فيك.
أتمنى من المشرفين إزالة بعض المواضيع المثبتة القديمة و تثبيت هذا الموضوع.
لا أستطيع التعقيب على الموضوع الآن حتى أستوعب طرحك جيدا.
ذكرتني بمواضيع الأخت تتغريد في هذا الجانب:
http://hazemsakeek.com/vb/showthread.php?13452


شكراً لك أخي عبد الرحمن

ولكن تم بالفعل تثبيت جميع مواضيعه علي هذا الرابط

http://hazemsakeek.com/vb/showthread.php?25416-%28-%29

مع وافر احترامي وتقديري

الاستاذ مناف دحروج
07-12-2010, 02:20 PM
بارك الله فيك
مجهود اكثر من رائع

رجب مصطفى
07-12-2010, 06:52 PM
اسمحوا لي بقول التالي ...

من المعروف أن إحتمالية تواجد جسيم يُوصف بالدالة الموجية http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cpsi&space;%28x%29 في الفترة http://latex.codecogs.com/gif.latex?dx المحيطة بالنقطة http://latex.codecogs.com/gif.latex?x هو


http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cleft&space;%7C%5Cpsi&space;%28x%29 &space;%5Cright&space;%7C%5E%7B2%7Ddx


وبمعنى آخر ... تكون الإحتمالية لوحدة الأطوال (أو كما تُعرف بـ كثافة الإحتمالية) لوجود الجسيم عند http://latex.codecogs.com/gif.latex?x هي


http://latex.codecogs.com/gif.latex?P%28x%29=%5Cleft&space;%7C%5Cps i&space;%28x%29&space;%5Cright&space;%7C%5E%7B2%7 D


وهذا عندما تكون الحركة في إتجاه واحد فقط، ولكن عموماً تكون الحركة في الفراغ وعندها تعتمد الدالة الموجية على الإحداثيات الثلاثة http://latex.codecogs.com/gif.latex?x,y,z أي أن http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cpsi&space;%28x,y,z%29 وعليه تكون


http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cleft&space;%7C%5Cpsi&space;%28x,y, z%29&space;%5Cright&space;%7C%5E%7B2%7Ddxdydz


هي إحتمالية تواجد الجسيم في الحجم http://latex.codecogs.com/gif.latex?dxdydz المحيط بالنقطة التي إحداثياتها http://latex.codecogs.com/gif.latex?x,y,z .

إذاً ...


http://latex.codecogs.com/gif.latex?P=%5Cleft&space;%7C%5Cpsi&space;%28x, y,z%29&space;%5Cright&space;%7C%5E%7B2%7D


هي الإحتمالية لوحدة الحجوم أو كثافة الإحتمالية لتواجد الجسيم عند النقطة http://latex.codecogs.com/gif.latex?x,y,z .

والشكل التالي (من أحد الكتب الموجودة عندي) يُبين توزيع الإحتمالية لإلكترون في ذرة !


http://hazemsakeek.com/up/download.php?img=974


ووفيه تتناسب درجة الإظلام مع قيمة http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cleft&space;%7C%5Cpsi&space;%28x,y, z%29&space;%5Cright&space;%7C%5E%7B2%7D، وتُمثل المناطق الأكثر إظلاماً الأماكن التي تكون إحتمالية تواجد الإلكترون فيها أكبر ما يمكن.

هذا، وتُعطى إحتمالية تواجد الإلكترون خلال حجمٍ ما http://latex.codecogs.com/gif.latex?V بكل سهولة من العلاقة


http://latex.codecogs.com/gif.latex?P=%5Cint_%7BV%7D%5Cleft&space;% 7C%5Cpsi&space;%28x,y,z%29&space;%5Cright&space;%7C%5 E%7B2%7Ddxdydz


والآن ... يمكن صياغة كلام الأخت الفاضلة / مروة ... التالي


شكرا لك أخي مراد، أعتقد أني فهمت الآن
كثافة الاحتمال تكون على عدد من الأبعاد (1، 2، 3.....) على منطقة_ مساحة أو حجم فالأوربيتال يوضح احتمال تواجد الالكترون في منطقة حول النواة
أما الاحتمال فهو عند نقطة معينة ولذلك نجري التكامل لكثافة الاحتمال بدلالة dx أو dA أو dV ....
أرجو التصحيحعلى الصورة:

الأحتمالية تقرر إلى أي درجة يمكن أن يتواجد جسيمٍ ما في مكان في الفراغ (المسافة، أو السطح حسب الحالة المعطاة)، أما كثافة الإحتمالية فهي عبارة عن مقدار هذه الإحتمالية لوحدة الحجوم (الطول، أو المساحة على الترتيب) من الفراغ !!!

والله أعلى وأعلم

في أمان الله ...

murad abuamr
07-12-2010, 07:33 PM
أحسنت تماماً أخي الحبيب رجب بهذا الشرح الرائع .

والصورة التي وضعتها هي للحالة 3s عندما l=0 .

رجب مصطفى
07-12-2010, 07:47 PM
والصورة التي وضعتها هي للحالة 3s

لذرة الهيدروجين ...

أحسنت أخي العزيز / مراد ... على الإضافة ...

والطريقة المتبعة هنا لرسم الأشكال الفراغية للأفلاك (الأوربيتالات) هي طريقة (أشكال كثافة النقاط)، وفيها يتم حساب الإحتمالية عند كل نقطة في الفراغ ثم يتم تمثيل القيم المختلفة بنقاط تزيد كثافتها على أساس قيمة الإحتمالية.

أي أن كثافة النقاط عند أي نقطة تتناسب مع قيمة الإحتمالية عند هذه النقطة !!!

murad abuamr
07-12-2010, 08:57 PM
لذرة الهيدروجين ...

أحسنت أخي العزيز / مراد ... على الإضافة ...

والطريقة المتبعة هنا لرسم الأشكال الفراغية للأفلاك (الأوربيتالات) هي طريقة (أشكال كثافة النقاط)، وفيها يتم حساب الإحتمالية عند كل نقطة في الفراغ ثم يتم تمثيل القيم المختلفة بنقاط تزيد كثافتها على أساس قيمة الإحتمالية.

أي أن كثافة النقاط عند أي نقطة تتناسب مع قيمة الإحتمالية عند هذه النقطة !!!



هذه الطريقة تسمى أيضاً طريقة التظليل التفاضلية differential shading ، حيث تتناسب شدة التظليل مع الاحتمال لوحدة الحجم .

ومن الواضح أنّ عدد الدوائر المظللة هي ثلاثة ، لذلك سيكون عدد الكم الرئيس يساوي 3 ، وبما أنّ الأشكال هي أشكال كروية ، حيث لا تفضل جهة معينة في الفراغ ، فلا بدّ أن يكون عدد الكم الفرعي l = صفراً .

رجب مصطفى
07-12-2010, 09:38 PM
هذه الطريقة تسمى أيضاً طريقة التظليل التفاضلية differential shading ، حيث تتناسب شدة التظليل مع الاحتمال لوحدة الحجم .

ومن الواضح أنّ عدد الدوائر المظللة هي ثلاثة ، لذلك سيكون عدد الكم الرئيس يساوي 3 ، وبما أنّ الأشكال هي أشكال كروية ، حيث لا تفضل جهة معينة في الفراغ ، فلا بدّ أن يكون عدد الكم الفرعي l = صفراً .

بسم الله ما شاء الله ...

بارك الله فيك وزادك من فضله ...

كنت أتوقع هذا وأكثر منك ... أخي الحبيب !!!

في أمان الله ...