الدوال المثلثية والزائدية

[رجب مصطفى]

بسم الله الرحمن الرحيم

السلام عليكم ورحمة الله وبركاته

إخواني زوار وأعضاء ومشرفي المنتدى الكرام

تحية طيبة إليكم

ــــــــــــــــــــــــ

هذا ملف بسيط عن:


التشابه بين الدوال المثلثية والزائدية


الهدف منه بيان بعض الخواص والمعاني وليس التفسير الرياضي الموجود في كل كتب الرياضة الأساسية


حبيت أن أضعه هنا للفائدة العامة


نسألكم الدعاء ...

[وفاء خلف]

وعليكم السلام ورحمة الله وبركاته
شكراً جزيلا لك استاذ/رجب علي هذا الملف
مجهود مميز
مع أطيب تحياتي لك

[رجب مصطفى]

الدوال المثلثية والزائدية

"الهدف من الموضوع بيان بعض الخواص والمعاني وليس التفسير الرياضي الموجود في كل كتب الرياضة الأساسية"

الدوال المثلثية Trigonometric Functions:
تسمى الدوال المثلثية بالدوال الدائرية وهي تنقسم إلى ست دوال: الجيب sine ’sin x’ ، جيب التمام cosine ’cos x’ ، الظل tangent ’tan x’ ، قاطع التمام cosecant ’csc x’ ، القاطع secant ’sec x’ ، وظل التمام cotangent ’cot x’ وهي الأسماء التي أطلقها العرب عليها والتي ترجمت إلى اللاتينية.

جميع هذه الدوال مرتبطة بالنسب المثلثية التي نلم بها من دراسة حساب المثلثات، كل ما في الأمر أنه يصحبها تغير مستمر فتأخذ هذه النسب المثلثية صفة الدالة التي تحول من قيم مختلفة x إلى قيم مختلفة y.
كما نجد أن أياً من هذه النسب المثلثية تكرر نفسها كل 2π من الزوايا أو بمعنى آخر أن جميع هذه الدوال المثلثية دورية بدورة 2π ، وهي جميعها دوال غير جبرية.

تلعب هذه الدوال دوراً مهماً في علم الفيزياء عند دراسة الترددات أو الذبذبات لجسم أو موجة أو في أي ظاهرة متكررة، فحتى إن لم تتبع سلوك هذه الدوال بالذات فإنه يمكن تحليلها في عدد غير منته من هذه الدوال عن طريق مفكوك فوريير.

تقاس عادةً جميع زوايا النسب المثلثية بــ "الزوايا الدائرية Radians " والتي تمثل المتغير المستقل في هذه الدوال.

ملحوظة هامة:
تصنف الدوال إلى نوعين: جبرية Algebraic وغير جبرية أو متسامية Transcendental ، فيطلق على f دالة جبرية إذا أمكن حساب f(x) من x بإجراء العمليات الجبرية الخمسة فقط، وهي الجمع والطرح والضرب والقسمة وإستخراج الجذور، عدداً محدوداً من المرات. بينما تسمى الدالة f متسامية إذا كان لا يمكن حساب f(x) بإحدى العمليات السابقة.

(يتبع) ******

[رجب مصطفى]

الدوال الزائدية Hyperbolic Functions:

وهي دوال غير جبرية تفيد في تطبيقات كثيرة وتعرف بعلاقات بسيطة من الدالة الأسية، وهي ست دوال أيضاً: الجيب الزائدي hyperbolic sine ’sinh x’ ، وجيب التمام الزائدي hyperbolic cosine ’cosh x’ ، والظل الزائدي hyperbolic tangent ’tanh x’ ، قاطع التمام الزائدي csch x، القاطع الزائدي sech x وظل التمام الزائدي coth x.

والسبب في إستعمال نفس رموز الدوال المثلثية بإضافة h إليها هو إمتلاك هذه الدوال لخصائص شبيهة بخصائص الدوال المثلثية، فمثلاً:

sinh (- x) = - sinh x
cosh (- x) = cosh x
cosh^2 x - sinh^2 x = 1

وأيضاً:

sinh (x + y) = sinh x cosh y + cosh x sinh y

ولا يندهش القارئ من التشابه الكبير بين قوانين الدوال المثلثية والزائدية، فالاثنتان تحققان العلاقة بين إحداثي نقطة واقعة على محيط دائرة في الحالة الأولى وعلى منحنى قطع زائد في الثانية. لذلك تسمى الدوال المثلثية بالدوال الدائرية أحياناً نسبةً إلى دائرة على غرار الزائدية نسبة إلى القطع الزائد.

والمعروف أن x^2 + y^2 = 1 تمثل في الإحداثيات الكارتيزية معادلة دائرة بينما تمثل x^2 - y^2 = 1 معادلة قطع زائد.
وبالتعويض عن

x = cos t , y = sin t

تتحقق المعادلة الأولى، وتتحقق الثانية بالتعويض

x = cosh t , y = sinh t

ويمثل البارامتر t في الحالة الأولى الزاوية الدائرية PoA كما في الشكل الأول وفي الحالة الثانية ضعف مساحة المنطقة PoA كما في الشكل الثاني:

http://www.tinyfotos.com/images/56282836624936216208.jpg

والدوال الزائدية تفيد في كثير من التطبيقات، من أهمها ظهورها في حلول المعادلات التفاضلية كما تستخدم أيضاً في حساب صور متعددة من التكاملات.

ومن الأمثلة التطبيقية الشهيرة لها هي أن أي كتينة معلقة تعليقاً حراً من طرفيها تأخذ شكل منحنى جيب التمام الزائدي، والمقصود بالكتينة سلسلة أو كابل مثل خطوط الجهد العالي أو التليفونات أو حتى أي حبل ممدود بين نقطتين ثابتتين.

ونفس الدالة (جيب التمام الزائدي) تظهر في تحليل حركة جسم في مائع تحت تأثير مقاومة، فمثلاً عند سقوط جسيم في الهواء إذا كانت مقاومة الأخير له تتناسب مع مربع سرعة الجسيم، فإن المسافة المفطوعة بواسطة هذا الجسيم تمثل بهذه الدالة.

http://www.tinyfotos.com/images/20249197257479997495.jpg

http://www.tinyfotos.com/images/87500144712435329060.jpg

http://www.tinyfotos.com/images/45884194723441345380.gif

[تغريد]

هذا رائع أخي رجب بارك الله فيك و جزاك كل خير

[adel_m_1991]

جزاك الله خير و انشاء الله في ميزان حسناتك
بس حبيت اخي الكريم لو تعطينى المتطابقات لها و تكملاتها
وشكر

[إقليدس العـــرب]

جــزاك الله خيراَ مشرفنا العزيز

[رجب مصطفى]

شكراً لمروركم العطر على موضوعي ... وهذا شرفٌ لي ووسام على صدري ...

أسأل الله العظيم ... رب العرش العظيم - أن يجعلني خيرٌ مما يظنون، ولا يؤاخذني بما يقولون، وأن يغفر لي ما لا يعلمون

وصلي اللهم على المصطفى "محمد بن عبد الله" وعلى آله الأطهار وصحبه الأخيار أجمعين ...

[نبوئة]

شكرا على الموضوع المفيد جدا
وعندي مسائل بسيطة جدا للدوال ارجو حلها وهي:
3cos* x - sin*x +1 / sin*x = 4cot*x

والعلامة* تعني تربيع
واخرى
tan x = sin x . sec x

[رجب مصطفى]

إقتباس:
المشاركة الأصلية بواسطة نبوئة http://hazemsakeek.com/vb/images/funkyfresh/buttons/viewpost.gif (http://hazemsakeek.com/vb/showthread.php?p=147782#post147782)
شكرا على الموضوع المفيد جدا
وعندي مسائل بسيطة جدا للدوال ارجو حلها وهي:
3cos* x - sin*x +1 / sin*x = 4cot*x

والعلامة* تعني تربيع
واخرى
tan x = sin x . sec x





من هنا ...


http://hazemsakeek.com/vb/showthread.php?t=24839 (http://hazemsakeek.com/vb/showthread.php?t=24839)

وصلِّ اللهم على المصطفى "محمد بن عبد الله" وعلى آله الأطهار وصحبه الأخيار رضي الله عنهم أجمعين ...

[slaam alfagih]

السلام عليكم ورحمة الله تعالى وبركاته
حيّــاكمــ المنان وبلّغكـمــ الجنان

بارك الله بكمــ أستاذنا الفاضل رجب مصطفى
موضوع قيّمـ ـ ـ جداً °° قلّـ ودلـ°°
حقيقة اقتبست أغلبه في تقرير دراسي لي
وكان اسم حضرتكم والموقع ينير صفحات التقرير كمرجع علمي

زادكمـ الله من علمه وفضله ونفع بكمـ ـ

أختكم في الله
سلـام الفقيـه